Теоремы второго метода Ляпунова

Рассмотрим теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости состояния равновесия автономной системы.

Теорема 8.2 (об асимптотической устойчивости). Состояние равновесия системы (8.4) будет асимптотически устойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V (x) ее полная производная в силу системы будет отрицательно определенной функцией, т. е. будут выполнены условия

Теорема 8.3 (об экспоненциальной устойчивости). Состояние равновесия системы (8.4) будет экспоненциально устойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова У (х) ее полная производная в силу

системы будет отрицательно определенной функцией и обе эти функции будут удовлетворять следующим квадратичным ограничениям'.

где Cj = const > 0, i = 1, 2, 3.

Теорема 8.4 (о неустойчивости). Состояние равновесия системы (8.4) будет неустойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V (pc) ее полная производная в силу системы будет также положительно определенной функцией.

Поскольку от функции V (pc) требуется только знакоопределенность, то для одной и той же системы (8.4) можно выбирать различные функции Ляпунова, которые могут дать более широкие или узкие условия устойчивости.

Приведенные теоремы дают только достаточные, но не необходимые условия устойчивости и неустойчивости и не указывают способы нахождения подходящих функций V (x), в чем и заключается основная сложность применения второго метода Ляпунова.

Таким образом, если не выполняются условия ни одной из приведенных теорем, то об устойчивости системы (8.4) ничего нельзя сказать. Вероятно, в этом случае функция Ляпунова была выбрана неудачно.

Пример 8.2. С помощью второго метода Ляпунова оценить устойчивость системы, поведение которой описывают следующие уравнения:

Решение

Полагаем и = 0 и рассмотрим автономную систему.

Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функцию:

Определим теперь полную производную функции Ляпунова в силу автономной системы:

Полная производная функции Ляпунова не является отрицательно определенной функцией, поскольку обращается в нуль не только в начале координат пространства состояний, но и на всей оси х_х. Это означает, что не выполняются условия ни одной из приведенных теорем. Следовательно, об устойчивости системы ничего нельзя сказать, неудачно выбрана функция Ляпунова.

Попробуем оценить устойчивость системы с помощью новой функции.

для которой определим полную производную.

Подставив в это выражение вместо производных переменных состояния правые части уравнений автономной системы, получим.

Как видим, полная производная новой функции Ляпунова есть отрицательно определенная функция. Следовательно, исходная система является асимптотически устойчивой.