Деление объема понятия (классификация)

Существует операция, синтезирующая сложение, умножение и вычитание понятий. Она называется делением объема понятия, или его классификацией. Целью классификации является определение всех разновидностей делимого понятия. Формально деление — это разбиение объема понятия на множество совместно исчерпывающих и взаимно исключающих классов согласно некоторому множеству оснований. Результатом данной операции оказывается родо-видовая иерархия понятий, раскрывающая объем классифицируемого понятия.

Делением объема понятия, или классификацией, называется определение всех его разновидностей согласно какому-либо множеству оснований (видообразующих признаков).

Цель всякой классификации — установление всех видовых понятий какого-либо одного понятия, выполняющего функцию родового. Врачи делят людей на здоровых и больных, а последних — на определенные классы по характеру и тяжести заболевания. Психологи делят людей по типу психологической реакции, состояния, конституции. Социологи разделяют людей по доходам, расходам, профессии, отношению к некоему общественно значимому событию. Нет ни одного человеческого действия, которое не было бы связано с классификацией его цтогов на полезные и бесполезные, целей — на значимые и незначимые, трудностей — на преодолимые и непреодолимые.

Классификацию нельзя путать с делением какой-либо вещи на части, поскольку видовые понятия обладают всеми признаками родового, а части никогда не отмечены признаками целого. Лист — часть дерева, но он не имеет свойств всего дерева.

Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем основные требования к делению понятий.

Если основанием деления понятия «благо» выбрать, согласно Аристотелю, условие «находиться в», то благо имеет следующие виды (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Классификация понятия «благо» согласно условию «находиться в».

Если выбрать в качестве основания условие «смысл блага», то, согласно Аристотелю, получится следующая классификация (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Классификация понятия «благо» согласно условию «смысл блага».

Рассмотренные классификации построены на изменении условия, выступающего их основанием. Здесь каждый их член — соподчиненное понятие. Подобные деления принято называть классификациями по изменяющемуся основанию.

Возможны также классификации, члены которых представляют противоречащие понятия. Это дихотомические (делящие надвое) классификации. Пример их также можно найти у Аристотеля (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Пример дихотомической классификации.

Основанием дихотомических классификаций служит принцип логического отрицания (дополнения, противоречия) их членов.

Возможны также классификации, в которых используются несколько оснований деления. Их называют последовательными классификациями. Пример таковой, также принадлежащей Аристотелю, приведен на рис. 1.22.

Рис. 1.22. Пример последовательной классификации.

Возможны также классификации, в которых основания деления представляют сложные признаки — соединенные союзами «и» и «или», обозначающими операции умножения и сложения соответственно. В таких случаях сложные признаки разделяются до образования простых. С помощью последних строится классификация по обычным правилам. Например, сложное основание «сегодня вторник или среда» разделяется на два простых — «сегодня вторник» и «сегодня среда».

Рассмотренные примеры позволяют сформулировать три основных требования к классификации.

1. Члены классификации должны представлять несовместимые по истине (непересекающиеся) классы, и их логическая сумма на каждом шаге разбиения должна быть равна объему классифицируемого понятия (универсуму).

Иначе либо будет пропущено какое-то видовое понятие, либо будет присутствовать избыточное видовое понятие. В первом случае отмечается неполная классификация, во втором — классификация с лишними членами. Пример первой — деление всех людей только на добрых и жестоких (пропущен класс тех, кто и не первые, и не вторые). Классификация с лишними членами деления возможна в двух значениях. Во-первых, некоторые ее члены могут поглощать других («нежестокие», например, поглощают «добрых»). Во-вторых, некоторые члены классификации не соответствуют единому основанию деления (как при делении дней на «солнечные», «пасмурные» и «счастливые»).

2. Каждый шаг классификации должен проводиться только по одному основанию. В противном случае члены классификации не будут исключать друг друга, а их сумма не окажется равной универсуму.

Например, деление людей на богатых и плачущих проведено по двум основаниям сразу. Члены данной классификации, будучи независимыми понятиями, не исключают друг друга, так как могут существовать богатые, которые плачут. Правильной будет классификация, осуществляемая в два шага (рис. 1.23).

Рис. 1.23. Классификация людей на богатых и плачущих.

3. Классификация считается законченной, если и только если при ее построении использованы все основания и все ветви, которые оказались противоречивыми, вычеркнуты.

Если все условия классификации необходимы, тогда данная операция тождественна конструированию (определению) понятий. Пределом классификации в этом случае выступает требование достаточности оснований (условий) классификации.

Классификация позволяет сделать наглядными операции сложения, умножения и вычитания произвольных величин и доказать их взаимосвязь. Например, каждому из школьного курса алгебры известно, чему равен квадрат суммы двух величин. Следующее дерево делает доказательство этого утверждения до тривиальности очевидным.

«Движение вниз» но любой из ветвей приведенного «дерева» равносильно выполнению умножения соответствующих классов, признаков, величин. В рассматриваемом примере подобное движение по первой ветви дает аа, по второй — ab, по третьей — Ьа, по четвертой ветви — bb. После очевидных преобразований получаем величины a², lab и Ь².

«Движение по горизонтали» равносильно выполнению сложения соответствующих классов, признаков и величин, полученных в результате операции умножения. Если такое сложение произвести, получим окончательный результат — (а² + lab + b²).

Операция вычитания равнозначна исключению из структуры «дерева» одной или более ветвей. Пусть дано следующее «дерево»:

Вычесть из универсума «яблоки» сладкие яблоки означает исключить из приведенного «дерева» левую ветвь и оставить в универсуме класс несладких яблок. Вычесть из данного универсума несладкие яблоки означает исключить правую ветвь указанного «дерева» и оставить в универсуме только сладкие яблоки.

К отмеченным особенностям классификации следует добавить еще одну, играющую существенную роль в логическом анализе.

Классификация позволяет представить универсум в виде логической суммы некоторого множества альтернативных возможностей (развития событий, действий, описаний и т. д.). Каждая ветвь классификации символизирует одну такую возможность. Знания и преобразования этих возможностей необходимо и достаточно для решения всех логических, комбинаторных, вероятностных, информационных задач и задач по принятию решений.

Пример 1.

Решить следующую задачу. У двух приятелей А и В денег поровну. Сколько денег должен Л отдать В, чтобы у В было на 10 рублей больше? Эту задачу обычно решают алгебраическим способом, составляя соответствующее уравнение и получая в качестве решения 5 руб. Более простым и понятным оказывается, однако, следующее решение (рис. 1.24).

Рис. 1.24.

Начинаем выполнение задания с конца. При равном количестве денег требуется, чтобы В имел на 10 рублей больше, чем А. Допустим, что у В 10 руб., у Л —0 руб. (рис. 1.24, а). Следовательно, Л должен для этого отдать В 5 руб. (рис. 1.24, б). Данное решение, как и алгебраическое, не зависит от стартового количества денег, имеющихся у приятелей.

Пример 2.

Решить следующую задачу^[1].

Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий одновременно — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка вместе — 3.

• 1. Сколько студентов не изучают ни одного языка?
• 2. Сколько студентов изучают только английский язык?
• 3. Сколько студентов изучают только немецкий язык?
• 4. Сколько студентов изучают только французский язык?
• 5. Сколько студентов изучают английский язык в том и только в том случае, если они изучают немецкий язык?
• 6. Сколько студентов изучают английский язык в том и только в том случае, если они изучают французский язык?
• 7. Сколько студентов изучают немецкий язык в том и только в том случае, если они изучают французский язык?

Для ответов на вопросы построим классификацию (рис. 1.25). Пусть А = 28 обозначает число изучающих английский язык, Я = 30 — немецкий язык, Ф = 42 — французский язык. Соответственно символы -А — 72, -1Я — 70, -1Ф = 58 обозначают число студентов, не изучающйх английский, немецкий и французский язык. Комбинации данных букв или их отрицаний указывают на количество студентов, изучающих или не изучающих соответствующие языки.

Рис. 1.25.

По условию А = 28, Я = 30, Ф = 42. ЗначиттЛ = 100 — 28 = 72, -Я = = 100 — 30 = 70, -, Ф = 100 — 42 — 58.

По условию АН = 8, АФ = 10, АНФ = 3. Значит ЛЯ->Ф = 8−3 = 5, Л-Л1 = 28 — 8 = 20, Л-.ЯФ = АФ — 10, А-пН-^Ф = 20 — 10 = 10.

По условию Я= 30, -АНФ = 5. Значит -АН = 30 — 8 = 22, -АН->Ф = = 22 — 5 = 17, -Л-.Я = 72 — 22 = 50.

По условию Ф = 42. Значит-А—ЛФ = 42 — 3 — 10 — 5 = 24, -А—Н-<�Ф = = 50 — 24 = 26.

Произведенные вычисления позволяют ответить на поставленные вопросы (в круглых скобках указаны классы, удовлетворяющие данному решению).

• 1. 26 студентов не изучают ни одного языка (8).
• 2. 10 студентов изучают только английский язык (4).
• 3. 17 студентов изучают только немецкий язык (6).
• 4. 24 студента изучают только французский язык (7).
• 5. 58 студентов изучают английский язык тогда и только тогда, когда они изучают немецкий язык (1 + 2 + 7 + 8).
• 6. 56 студентов изучают английский язык тогда и только тогда, когда они изучают французский язык (1 + 3 + 6 + 8).
• 7. 44 студента изучают немецкий язык тогда и только тогда, когда они изучают французский язык (1 + 4 + 5 + 8).

Пример 3.

Кто и какое место занял в чемпионате университета по шахматам, если только одна часть каждого следующего ответа истинна: А занял первое место, а В — второе; С занял второе место, a D — четвертое; А занял второе место, a D — третье.

Пусть буква с нижним индексом, скажем А_у обозначает место, которое занял по предположению тот или иной претендент. Отрицание подобной буквы свидетельствует, что данный претендент не занял указанного места. Пусть знак? обозначает противоречивую ветвь классификации (когда один и тот же претендент занимает разные места или когда разные претенденты занимают одинаковые места) (рис. 1.26).

Рис. 1.26.

Поскольку неизвестно, какая часть каждого (?твета неверна, сначала предполагаем, что первая верна, а вторая неверна, затем, что первая неверна, а вторая верна. И так для каждого ответа. Вычеркивая последовательно противоречивые ветви классификации, получаем, что А занял первое место, В — четвертое, С — второе и D — третье. Значит в первом и втором ответах верны первые части, в третьем — вторая часть.

• 1. Укажите необходимые и достаточные условия следующих явлений, свойств, предметов:
  • а) зимнее утро;
  • б) нечетное число;
  • в) справедливость;
  • г) равные величины;
  • д) образованный человек.
• 2. Выражают ли следующие слова одни и те же понятия:
  • а) педагог, преподаватель, учитель;
  • б) неконечное, бесконечное, безмерное;
  • в) несвобода, рабство, неволя;
  • г) бедный, неимущий, не имеющий;
  • д) не война, мир, перемирие.
• 3. Изменится ли содержание понятия «Марс» после того, как на нем побывают люди?
• 4. Изменится ли объем понятия «завтрак» после того, как он будет съеден?
• 5. Какие из перечисленных понятий связаны отношениями рода и вида?
• а) час, сутки;
• б) кислород, газ;
• в) прямая, отрезок прямой;
• г) город, центр города;
• д) тысяча рублей, сто рублей.
• 6. Изобразите графически, как соотносятся объемы следующих понятий:
  • а) геометрия Евклида, неевклидова геометрия, геометрия Лобачевского, геометрия Римана;
  • б) мысль, слово, дело;
  • в) вежливый, приятный, обходительный;
  • г) дед, отец, сын, внук;
  • д) забежал, вошел, вбежал, ввалился.
• 7. Корректны ли следующие толкования слов в качестве определений:
  • а) наследовать — получить в наследство от кого-либо что-либо;
  • б) лучший — самый хороший;
  • в) отличный — очень хороший, превосходный;
  • г) хороший — имеющий положительные свойства;
  • д) дарить — давать что-либо в качестве подарка, безвозмездно.
• 8. Для каждой пары следующих понятий выполните операции сложения, умножения и вычитания:
  • а) натуральное число, четное число;
  • б) море, озеро;
  • в) звезда, планета;
  • г) не радость, не печаль;
  • д) здоровье, болезнь.

• [1] Мельников В. И. Логические задачи. — Киев; Одесса, 1989. С. 27.