Исследование уравнения в окрестности стационарного состояния

Исследование устойчивости стационарного состояния методом линеаризации

Для исследования поведения решений автономного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности стационарного состояния применим метод линеаризации Ляпунова. Пусть х — стационарное решение уравнения (4.1). Пусть система, первоначально находившаяся в стационарном состоянии, отклонилась от него и перешла в близкую точку х = х + ?. Перейдем в уравнении (4.1) от переменной х к переменной ?, являющейся отклонением системы от стационарного состояния:

Учитывая, что }{х) = 0 (по определению стационарного состояния), и разложив f (x + Z,) в ряд Тейлора в точке х, получаем.

или

где ai = f'(x), 02 = }" {х), … Отбросив члены порядка выше первого, получим линейное уравнение.

называемое линеаризованным уравнением, или уравнением первого приближения. Его решение имеет вид.

где X = ai = /'(х); с — произвольная постоянная.

Рис. 4.3. Определение устойчивости стационарного состояния по графику функции f (x):

а — стационарное состояние х устойчиво; б, в — стационарное состояние X

неустойчиво Если X < 0, то с, —> 0 при? —> сю и, следовательно, первоначальное отклонение от состояния равновесия со временем затухает. Это означает, по определению, что состояние равновесия устойчиво. Если X > 0, то? —? оо при t —> оо, т. е. исходное состояние равновесия неустойчиво. Если X = 0, то уравнение первого приближения не может дать ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия системы. Необходимо рассматривать члены более высокого порядка в разложении в ряд Тейлора.

Таким образом, устойчивость стационарного состояния автономного дифференциального уравнения (4.1) определяется знаком производной правой части в стационарной точке.

Вопрос об устойчивости состояния равновесия одного уравнения нетрудно решить, рассматривая график функции f (x). По определению, в стационарной точке правая часть уравнения (4.1) — функция /(х) — обращается в нуль. При этом возможны три случая (рис. 4.3, а, б, в).

1. Вблизи состояния равновесия функция /(х) меняет знак с плюса на минус при возрастании х (см. рис. 4.3, а).

Отклоним изображающую точку системы в сторону х < х. В этой области скорость изменения х: dx/dt = /(х) положительна. Следовательно, х увеличивается, т. е. возвращается к х. При х > х скорость изменения величины х отрицательна, так как функция /(х) < 0. Следовательно, здесь х уменьшается и опять стремится к х. Таким образом, отклонения от стационарного состояния в обе стороны затухают. Стационарное состояние устойчиво.

2. Вблизи состояния равновесия функция /(х) меняет знак с минуса на плюс при возрастании х (см. рис. 4.3, б).

Проведем рассуждения, аналогичные случаю 1, помещая изображающую точку сначала в область х х. В обоих случаях изображающая точка удаляется от состояния равновесия. Стационарное состояние неустойчиво.

3. Вблизи состояния равновесия функция f (x) не меняет знак (см. рис. 4.3, в) Поскольку f (x) = 0, это означает, что изображающая точка, помещенная достаточно близко к состоянию равновесия с одной стороны, будет приближаться к нему, помещенная с другой стороны — удаляться. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову состояние равновесия является неустойчивым.