Параметры и инвариант линейного преобразования

Общее линейное преобразование зависит от трёх параметров, за которые могут быть приняты, например, отношения чисел а, Ь, с и d к одному из них. Чтобы определить эти параметры, а вместе с ними и самое преобразование, нужны три уравнения между а> Ь, с и d. Мы получим их, указав точки w_x, w₂ и в которые искомым преобразованием переводятся какие-либо три точки z_l9 z₂ и z₃. Задавая точки z_lt z₂ и z₃ произвольно, получаем уравнения:

Чтобы исключить а, Ь, с и d из этих уравнений и из уравнения.

az 4- Ь ,

w = — ^ _d, образуем разности:

Деля почленно первое из этих уравнений на второе и третье на четвёртое, затем полученные таким образом равенства снова деля почленно друг на друга, получим:

Это и есть искомое линейное преобразование. Отметим, что преобразование (7) будет единственным линейным преобразованием, переводящим точки z_u z₂ и z₃ в точки w_l9 Wo и w₂, так как к этому преобразованию мы пришли, допустив только, что общее линейное преобразование подчиняется условиям (6).

Так как за z_l9 z₂, z₃, z и w_u w₂, w₃, w могут быть приняты любые четвёрки точек, соответствующих друг другу при линейном преобразовании, то полученное соотношение выражает следующее общее свойство линейного преобразования: отношение -——: ——- со;

² — ^гч ²3~ ²г

храняется при линейном преобразовании, т. е. является его инвариантом. Это отношение называется двойным или ангармоническим отношением четырёх точек и обозначается через (z_{9 z₂, z, z₃). Выясним геометрический смысл ангармонического отношения в том случае, когда четыре точки z_v z₂, z и z_s лежат на одной окружности (в частном случае — на одной прямой). Пусть точки z_lt z₂, z, z_s лежат на прямой.

*.

проходящей через точку 1₀ и пересекающей ось *-ов под углом а. Тогда имеем:

откуда

т. е. ангармоническое отношение четырёх точек, лежащих на прямой, есть действительное число, равное взятому с надлежащим знаком отношению расстояний от одной из них (z) до двух других (z_x и z₂), делённому на отношение расстояний от четвёртой точки (z₂) до тех же двух (г, и z₂). Пусть теперь точки г_Х9 z₂, z и г_ъ лежат на окружности С = С₀ + ^^/?(0 ^ ср<2тт), с центром С₀ радиуса г. Тогда имеем:

и, следовательно,.

Мы видим, что и здесь ангармоническое отношение является действительным числом, равным взятому с надлежащим знаком отношению длин хорд (или дуг окружности), соединяющих одну из точек (z) с двумя другими (z_x и z₂), делённому на отношение длин хорд (дуг), соединяющих четвёртую точку z_s с теми же двумя.

Соединяя полученный в начале этого пункта результат с фактом инвариантности окружностей при линейном преобразовании, мы приходим к следующему выводу. Возьмём в плоскости z три точки а, р, у. Через эти точки можно провести окружность и притом только одну. Точно так же в плоскости w зададим три точки а', р', у «которые определяют проходящую через них окружность. На основании предыдущего мы можем сказать, что су ществует единственная линейная функция, которая переведёт первую окружность во вторую, причём точкам а, Р и у будут соответствовать точки а', р', у'.

Так как окружность а'(Гу' служит границей двух различных областей (внутренности и внешности окружности), то нужно ещё выяснить, в какую из этих двух областей перейдёт внутренность окружности ару. Для этого достаточно проследить, куда перейдут точки внутренней нормали к окружности сфу. Но нормаль к сфу переходит в нормаль к а’Р’у'** остаётся лишь из двух направлений нормали к а’Р’у' выбрать.

Фиг. 37.

Фиг. 38.

такое, чтобы угол между ними и окружностью отсчитывался бы в том же направлении, в каком отсчитывается угол между внутренней нормалью к сфу и самой окружностью ару. Различные случаи представлены на фиг. 37 (внутренность круга ару переходит во внутренность круга а’р’у') и фиг. 38 (внутренность переходит во внешность).