Физические принципы квантовой механики

Уравнение Шредингера. Уравнение сохранения вероятности

Современная нерелятивистская квантовая механика основывается на уравнении для волновой функции, которое сформулировал австрийский физик Эрвин Шредингер (1926). Чтобы записать это уравнение, рассмотрим сначала схему вывода дисперсионного уравнения для плоской монохроматической волны: исходное волновое уравнение:

решение — плоская волна:

действие операторов А и: дГ.

подстановка (2.3) в исходное уравнение:

Отсюда следует дисперсионное уравнение, связывающее частоту и волновое число плоской волны (2.2):

Из (2.3) видно, что действие оператора «набла» V на выражение для плоской волны приводит к умножению на /к:

тогда как действие оператора — приводит к умножению на -/со:

at

Справедливо также обратное: умножение выражения для плоской волны на волновой вектор к эквивалентно действию оператора.

-/V:

.д

а умножение на частоту со — действию оператора / —:

Чтобы записать уравнение Шредингера для волновой функции, воспользуемся формулами (2.1)—(2.5), идя «снизу вверх» — от (2.5) к (2.1). Дисперсионным уравнением, связывающим частоту и волновой вектор волн де Бройля, является, по существу, классическая формула для полной энергии частицы:

где U — потенциальная энергия частицы; Я — функция Гамильтона. Действительно, пользуясь соотношениями (1.60), (1.62), из (2.10) получаем.

Умножаем далее формально обе части (2.11) на волновую функцию:

Заменяем затем си и к на операторы согласно (2.8), (2.9). Тогда приходим к искомому уравнению Шредингера:

где.

называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом. Здесь и далее шляпка над буквой означает соответствующий оператор. В формуле (2.14) на основе соотношений (1.60) и (2.8) введен оператор импульса:

Такое выражение для оператора импульса может быть получено с использованием свойства однородности пространства. Из этого свойства вытекает закон сохранения импульса для замкнутой системы.

Уравнение (2.13) называют нестационарным уравнением Шредингера.

Существуют квантовые состояния, которые характеризуются постоянным значением энергии Е. Они еще в теории Бора определялись как стационарные состояния. Для них пространственная и временная зависимости в волновой функции могут быть разделены: ф (г,/)=|>(г)х (*) — Тогда из формулы (2.13) получаем:

—— = —^-г#ф (г)= Е, где Е — постоянная разделения, имеющая.

Xdt ф (г) ^W

смысл энергии состояния. Отсюда следует, что временная зависимость волновой функции согласно уравнению ih—=Ex является.

с dt

-i—t

вполне определенной: х (0 =^{е Л}. Пространственная зависимость волновой функции описывается уравнением.

Таким образом, для стационарных состояний волновая функция имеет вид:

Плотность вероятности таких состояний не зависит от времени:

| Ф (r, f)|^{2 =}|^(^r)|² > поэтому они и называются стационарными.

Уравнение (2.16) называют стационарным уравнением Шрединге— ра, которое часто записывают в эквивалентной форме:

Отметим, что стационарное уравнение Шредингера (2.18) следует непосредственно из волнового уравнения (2.1), которое в случае монохроматической волны (и «ехр (-/о) называют уравнением Гельмгольца: Аи + —и = 0 •.

2 2 ^Ф

В самом деле в случае волны де Бройля имеем: ю_ ₌ ?² = JL. — 2nL (E-U-

и* Л² Л^{2 4 7}

Отсюда сразу приходим к уравнению (2.18). ^ф

И стационарное, и нестационарное уравнения Шредингера линейны относительно волновой функции. Для таких уравнений справедлив принцип суперпозиции решений. Линейная комбинация нестационарных решений уравнения Шредингера также является нестационарным решением. Суперпозиция стационарных решений с разными значениями энергии, в обшем, может не быть стационарным решением. Например, пусть.

В этом случае плотность вероятности зависит от времени:

Отсюда видно, что плотность вероятности периодически изменяется с частотой (0₁₂ = (?, -E^/h, которая совпадает с боровской частотой перехода между стационарными состояниями. Если система находится в одном из стационарных состояний, то плотность вероятностей в нем не зависит от времени — ее энергия имеет некоторое определенное значение, так что система не излучает и не поглощает энергию. Таким образом, квантовая механика атома не противоречит законам электродинамики.

Условие нормировки волновой функции непосредственно вытекает из уравнения Шредингера. Действительно, умножая уравнение.

(2.13) слева на функцию Ф* (г,/), а комплексно-сопряженное уравнение — на ф (г,/) и затем вычитая полученные выражения, приходим к уравнению:

Величина ФФ* = |ф|² определяет плотность вероятности. Тогда вектор

можно интерпретировать как вектор плотности потока вероятности. Таким образом, приходим к уравнению, имеющему смысл уравнения сохранения вероятности:

Отсюда после интегрирования по всему пространству следует: Jу^|У|ф|²^К= 0, так как JJJdivjdH = -j = 0, где ds — элемент поверхности (при условии, что Ф является квадратично-интегрируемой функцией. Тогда подынтегральное выражение в интеграле по поверхности убывает быстрее, чем l/r⁴, а поверхность интегрирования растет как г²). Таким образом, JJJ|ф| dxdydz = const. По смыслу волновой функции эта постоянная должна быть равна единице. Если Ф не стремится к нулю указанным образом при г—? оо, то на бесконечности имеется поток частиц, как, например, в случае плоской волны де Бройля.

Отметим, что физически приемлемые решения уравнения Шредингера требуют выполнения определенных, как говорят, стандартных условий. Из определения вероятного местоположения частицы и вектора плотности потока вероятности следует, что волновая функция должна быть однозначной, непрерывной и ограниченной вместе со своими первыми производными^[1].

Уравнение Шредингера — это одно из фундаментальных уравнений современной физики, наряду с уравнениями механики Ньютона, Максвелла для электромагнитного поля и др., которые не выводятся. Правильность уравнения Шредингера подтверждается полным согласованием результатов теории с экспериментальными данными, а также многочисленными предсказаниями, нашедшими применение на практике, например в мазерах, лазерах, полупроводниковых устройствах и т. д.

Вместе с тем уравнение Шредингера является нерелятивистским и не учитывает важного свойства микрочастиц — их спина. В этом его ограниченность. Кроме того, оно является по существу феноменологическим. Это связано с тем, что внешние воздействия на частицу (поля) задаются классически с помощью выражения для потенциальной энергии. Такой подход аналогичен описанию распространения электромагнитных волн в среде, свойства которой задаются с помощью феноменологического показателя преломления. Современная квантовая теория последовательно устраняет эти недостатки.

ЗАДАЧИ.

1. Определить вектор плотности потока вероятности для свободной частицы.

Решение. Волновая функция свободно движущейся частицы определяется формулой (1.69). Тогда j = — а |² = const.

т^{1 1}

2. Можно ли определить волновую функцию свободной частицы не в комплексной, а в действительной форме вида Ф = >4 cos—(р г — ?/)?

Решение. Нельзя, поскольку такая функция не удовлетворяет уравнению Шредингера. В этом случае вектор плотности потока вероятности равен нулю.

• [1] Обоснование этих условий можно найти в книге: Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики.— СПб.: Лань, 2004.