Статистические методы исследования точности обработки

Точность изделий, как известно, является одним из важнейших показателей их качества. При исследовании точности обработки применяются те же методы, что и для анализа качества изделий.

При анализе и контроле качества изделий наиболее часто приходится решать следующие задачи:

• • определение показателей качества на основе статистической обработки малых выборок с оценкой достоверности полученных значений методом доверительных интервалов;
• • сравнение показателей качества с заданными значениями или между собой с помощью проверки статистических гипотез;
• • определение закона распределения показателей качества с проверкой соответствия опытного распределения с теоретическим;
• • анализ воспроизводимости технологических процессов и возможности изготовления изделий без брака (определение процента вероятного брака, а также числа изделий, требующих доработки);
• • управление технологическими процессами с использованием контрольных карт.

Применение методов теории выборок

Предположим, имеется некоторая большая конечная или бесконечная совокупность объектов исследования, называемая генеральной. Из нее извлекаются (с возвратом или без возврата) объекты, образующие выборку. Эти объекты изучаются для определения свойств, характеристик всей генеральной совокупности. Число п называют объемом выборки, а характеристики, определенные по п объектам, — выборочными.

На практике чаще всего определяют выборочное среднее исследуемых величин.

(4.9).

и выборочную дисперсию.

(4.10).

Знаменатель дисперсии называют числом ее степеней свободы.

На основании выборочных характеристик судят о генеральных характеристиках, в частности о генеральном среднем? исследуемых случайных величин и генеральной дисперсии . Чтобы нивелировать влияние таких случайных факторов на характеристики выборки, отбор ее объектов должен быть рандомизирован, т. е. проведен случайным образом.

Если объем генеральной совокупности велик, а выборка представляет лишь небольшую ее часть, результаты оценки генерального среднего и генеральной дисперсии по случайной выборке с возвратом и без возврата мало отличаются между собой.

Зная объем выборки п, находят с доверительной вероятностью следующую интервальную оценку для генерального среднего:

(4.11).

где  — квантили распределения Стьюдента;  — среднее квадратичное отклонение.

Верхние и нижние границы отклонений образуют так называемый доверительный интервал. Значение а, выраженное в процентах, показывает, в скольких выборках из 100 такие доверительные интервалы не будут содержать генеральное среднее.

Дисперсия может использоваться как характеристика точности применяемой методики исследований для оценки стабильности технологических процессов и т. д.

Распределение величины (хи-квадрат-распределение) в отличие от -распределения несимметрично.

С доверительной вероятностью справедливо неравенство, являющееся доверительной оценкой генеральной дисперсии:

(4.12).

Для генерального среднего квадратического отклонения такая оценка имеет вид.

(4.13).

При проведении исследований часто возникает вопрос: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии (например, считать сравниваемые технологические процессы одинаково стабильными)?

Рассмотрим метод сравнения двух дисперсий и , имеющих соответственно и степеней свободы. Предположим, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией , вторая — с дисперсией . Выдвигается так называемая нулевая гипотеза о равенстве . Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно показать значимость расхождения между и при принятом уровне значимости . В качестве критерия значимости используются квантили распределения Фишера или F-распределения:

(4.14).

Если обозначить через большую из сравниваемых дисперсий, то нулевую гипотезу (гипотезу о равенстве дисперсий) следует отбросить при.

(4.15).

Когда отношение дисперсий меньше критического значения F, сравниваемые выборочные дисперсии являются однородными, т. е. оценками одной и той же генеральной совокупности. В таких случаях для генеральной дисперсии может быть получена средневзвешенная оценка степенями свободы:

(4.16).

Рассмотрим метод сравнения нескольких дисперсий , имеющих равные числа степеней свободы ' В этом случае, если отношение наибольшей дисперсии ко всей сумме дисперсий больше квантиля распределения Кохрена с определенным уровнем значимости , расхождение между дисперсиями нужно считать значимым, т. е. при.

(4.17).

нулевая гипотеза (о равенстве дисперсий) отвергается.

Рассмотрим метод сравнения двух средних и . Вначале нужно проверить равенство дисперсий и с помощью F-критерия Фишера. Если нулевая гипотеза о равенстве и не отвергается, то вычисляется средневзвешенная дисперсия (4.16) с степенями свободы. Затем рассматривается нулевая гипотеза . Критерием проверки этой гипотезы являются квантили -распределения. Гипотеза о равенстве средних значений отвергается при.

(4.18).

В оценке используются квантили величины t, соответствующие степеням свободы.

Если дисперсии и оказываются неоднородными, пользуются приближенным критерием для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних значений:

(4.19).

Нулевая гипотеза отклоняется, если окажется, что

Пример 4.11

По результатам измерения диаметров пяти валов, изготовленных на двух токарных полуавтоматах, получены следующие значения (соответственно для 1-го и 2-го полуавтомата) выборочных средних и дисперсий . Определите, отличаются ли настроечные размеры этих полуавтоматов.

Сначала проверяем гипотезу о равенстве выборочных дисперсий с помощью критерия Фишера. Поскольку на принятом уровне значимости 0,05.

гипотеза о равенстве (однородности) дисперсий принимается (полуавтоматы обеспечивают одинаковую точность размеров валов).

Вычисляем средневзвешенную дисперсию.

с степенями свободы.

Среднее квадратическое отклонение.

Проверяем гипотезу о равенстве средних значений с помощью критерия Стьюдента. Так как.

гипотеза о равенстве средних значений принимается. Следовательно, настроечные размеры данных полуавтоматов не отличаются.

Фактический настроечный размер этих полуавтоматов.

Интервальная оценка данного размера с доверительной вероятностью составляет.