Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью
![Реферат: Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью](https://gugn.ru/work/6561980/cover.png)
Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 + q 0) и радиусом q. Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.6) при любом значении q (рис. 5.3). Таким образом, при положительном значении параметра и явная разностная схема (5.2) будет неустойчива. Рассмотрим метод… Читать ещё >
Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Исследование устойчивости
Исследуем устойчивость разностной схемы (5.2) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f (tn, Xу), наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):
![Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.](/img/s/8/36/1432936_1.png)
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на Xnetaj, и выражаем X:
![Графическая интерпретация условия устойчивости (5.6).](/img/s/8/36/1432936_2.png)
![Рис. 5.1. Графическая интерпретация условия устойчивости (5.6).](/img/s/8/36/1432936_3.png)
Рис. 5.1. Графическая интерпретация условия устойчивости (5.6).
Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) также следует рассматривать в применении к комплексным числам. То есть, неравенство.
![Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.](/img/s/8/36/1432936_4.png)
означает, что для того чтобы разностная схема была устойчива, необходимо чтобы собственные числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости (рис. 5.1).
1) Рассмотрим случай и < 0. Введём следующее обозначение:
![Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.](/img/s/8/36/1432936_5.png)
Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 — г 0) и радиусом:
![Исследование устойчивости разностной схемы (5.2) при у О.](/img/s/8/36/1432936_6.png)
Рис. 5.2. Исследование устойчивости разностной схемы (5.2) при у О.
![Исследование устойчивости разностной схемы (5.2) при v> 0 и разностной схемы (5.3) при и." loading=](/img/s/8/36/1432936_7.png)
![Рис. 5.3. Исследование устойчивости разностной схемы (5.2) при v > 0 и разностной схемы (5.3) при и < О Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.6), получаем три различных варианта (рис. 5.2). Видно, что окружность, соответствующая собственным числам оператора перехода, при г 1 — вне этого круга; а при г = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при отрицательном значении параметра v явная разностная схема (5.2) будет устойчива при выполнении следующего условия:](/img/s/8/36/1432936_8.png)
Рис. 5.3. Исследование устойчивости разностной схемы (5.2) при v > 0 и разностной схемы (5.3) при и < О Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.6), получаем три различных варианта (рис. 5.2). Видно, что окружность, соответствующая собственным числам оператора перехода, при г 1 — вне этого круга; а при г = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при отрицательном значении параметра v явная разностная схема (5.2) будет устойчива при выполнении следующего условия:
![Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.](/img/s/8/36/1432936_9.png)
Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение:
![Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.](/img/s/8/36/1432936_10.png)
Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 + q 0) и радиусом q. Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.6) при любом значении q (рис. 5.3). Таким образом, при положительном значении параметра и явная разностная схема (5.2) будет неустойчива.
Обобщая полученные результаты, сделаем вывод, что явная разностная схема с аппроксимацией производной ди/дх правой конечной разностью (5.2) является условно устойчивой; условие устойчивости имеет вид:
![Разностный шаблон разностной схемы (5.2).](/img/s/8/36/1432936_11.png)
![Рис. 5.4. Разностный шаблон разностной схемы (5.2).](/img/s/8/36/1432936_12.png)
Рис. 5.4. Разностный шаблон разностной схемы (5.2).
Метод решения
Рассмотрим метод решения разностной схемы (5.2). Разностный шаблон (рис. 5.4), характеризующий данную разностную схему, свидетельствует о том, что она содержит одну неизвестную величину — значение функции u (t, х) на (п + 1)-м шаге по времени. Выражая эту величину из разностной схемы, получаем рекуррентное соотношение.
![Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.](/img/s/8/36/1432936_13.png)
позволяющее рассчитать все значения функции u (t> х) на (п + 1)-м шаге по времени (при известных значениях функции u (t, д:) на п-м шаге), кроме значения на правой границе, для определения которого, очевидно, требуется правое граничное условие:
![Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.](/img/s/8/36/1432936_14.png)
На рис. 5.5 приведён алгоритм (в виде блок-схемы) решения явной разностной схемы с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью (5.2).
![Блок-схема решения разностной схемы (5.2).](/img/s/8/36/1432936_15.png)
Рис. 5.5. Блок-схема решения разностной схемы (5.2).