Основная задача динамики

Во многих прикладных задачах требуется знать движение тела под действием заданных сил. Все подобные задачи вместе взятые составляют основную задачу динамики: найти закон движения тела или системы тел при условии, что действующие силы известны. Решение задачи динамики может быть найдено при помощи второго закона Ньютона. В некоторых случаях эта задача имеет простое решение, в других ее решение наталкивается на непреодолимые математические трудности. Ниже будут рассмотрены различные задачи динамики и методы их решения.

Решения уравнений прямолинейного движения

Прямолинейное движение тела можно описать при помощи только одной функции которая определяет зависимость координаты тела от времени (рис. 3.6). Для того чтобы установить эту зависимость, следует применить второй закон Ньютона, записав его в виде.

где силу F следует рассматривать в общем случае как заданную функцию трех переменных: времени *, координаты х и скорости х.

Рис. 3.6. Функция x (t) описывает прямолинейное движение тела.

Равенство (3.19) называют уравнением движения тела. Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка для неизвестной функции х = x (t). Найти аналитическое решение уравнения (3.19) в общем случае невозможно. Рассмотрим несколько частных случаев, когда решение этого дифференциального уравнения может быть найдено в виде конкретной зависимости г от t.

1. Сила зависит только от времени: F = F (t). В этом случае из закона Ньютона найдем зависимость ускорения от времени:

Имея в виду, что v = а, получим зависимость.

Интегрируя эту функцию по времени с учетом того, что х = v, найдем искомую функцию

Полученные функции

содержат в себе в качестве параметров постоянные интегрирования С и Сз, которые могут быть найдены из так называемых начальных условий. Пусть в момент времени t = t_c координата принимает значение г₀, а скорость тела в этот момент равна v₀ :

Эти условия фактически образуют систему двух уравнений для постоянных С и СгУстановив их значения, найдем единственное решение уравнения (3.19), которое описывает движение тела и удовлетворяет заданным начальным условиям.

2. Сила зависит только от координаты: F = F (x). При этом силу можно представить в виде.

где функция U = U (x) называется потенциальной энергией тела. Подставив это выражение в уравнение (3.19), с учетом того, что а = v, получим:

После умножения этого уравнения на.

будем иметь

Применяя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно убедиться в том, что уравнение.

эквивалентно предыдущему уравнению.

Величина

называется кинетической энергией тела, совершающего поступательное движение; а величина.

— его полной механической энергией, которую можно рассматривать как сложную функцию от времени:

Из уравнения (3.21) видно, что производная этой функции по времени равна нулю:

Производная функции может быть равна нулю при всех значениях аргумента только в том случае, когда она фактически от этого аргумента не зависит, т. е. является постоянной величиной:

Таким образом, приходим к заключению. Если при поступательном движении тела действующая на него сила зависит только от его координаты, то полная механическая энергия тела сохраняется, т. е. не зависит от времени. Это утверждение называется законом сохранения энергии при механическом движении.

При условии (3.25) равенство (3.24) можно рассматривать как дифференциальное уравнение первого порядка для функции х = x (t) :

Даже не решая этого уравнения, можно извлечь из него некоторые сведения о движении тела. Так как кинетическая энергия — величина неотрицательная, потенциальная энергия тела при его движении всегда будет не больше полной механической энергии. Другими словами, при движении с заданной полной механической энергией тело может находиться только в тех положениях, для которых выполняется неравенство.

Рис. 3.7. Потенциальная энергия

Пусть, например, график зависимости U = U (x) имеет вид. изображенный на рис. 3.7. Горизонтальная прямая, соответствующая заданному значению Е полной энергии, пересекает график функции U = U (x) в точках с координатами х, хг, хз :

те. в этих положениях потенциальная энергия тела равна полной энергии Е, а его кинетическая энергия здесь будет равна нулю. При этом скорость тела также будет равна нулю. Поэтому эти положения тела называются точками остановки. Неравенство (3.27) выполняется при х? (-оо, xi] (J [х2, хз]. В области х < Х тело сначала движется слева направо из бесконечности, достигает точки х = Xi, где оно на мгновение останавливается; а затем начинает двигаться в обратном направлении и уходит на бесконечность. Такое движение называется инфинитным, т. е. неограниченным. В области, где х* < х < хз, тело совершает периодически повторяющееся колебательное движение между точками остановки Х2 и хз. Такое движение называется финитным.

Как видно из графика на рис. 3.7, при х = х₀ функция U = U (x) имеет минимум. В этом положении на тело сила не действует, так как производная от U по х в этой точке равна нулю:

Пусть в некоторый момент времени t₀ тело находится в положении, которому соответствует х = х_0у а его скорость равна нулю. Так как при этом сила на тело не действует, оно будет находиться в этом положении во все последующие моменты времени t > t₀. В таком случае говорят, чго тело находится в положении равновесия. При смещении тела вправо от точки х₀ на него будет действовать сила, возвращающая его в положение равновесия (рис. 3.8), так как при х > х₀ функция V = U (x) возрастает и ее производная положительна:

При х < х₀ функция U = U (x) убывает, ее производная отрицательна, а сила будет положительна:

Рис. 3.8. Положение устойчивого равновесия.

т.е. при смещении тела влево от точки х₀ сила опять стремится вернуть его в положение равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым. Если тело совершает колебательное финитное движение с заданным значением Е полной энергии, то в момент прохождения им положения устойчивого равновесия его кинетическая энергия будет наибольшей:

так как потенциальная энергия здесь минимальна.

В точке х = х на рис. 3.7 функция U — U (x) имеет максимум. Так как при этом сила равна нулю, соответствующее положение тела также будет равновесным при условии, что v = 0. Однако это положение равновесия будет неустойчивым потому, что при смещении гела на него будет действовать сила, удаляющая его от положения равновесия.

Часть графика функции U = U (x), включающая точку минимума, называется потенциальной ямой а другая его часть, содержащая точку максимума, — потенциальными барьером.

3. Сила зависит только от скорости: F = F (v). Примером зависимости силы от скорости может служить сила трения. В таком случае уравнение движения (3.19) удобно представить в виде.

Это есть уравнение с разделяющимися переменными v и t. Разделяя переменные и производя интегрирование, придем к равенству.

которое необходимо разрешить относительно скорости с тем, чтобы получить в явном виде зависимость v = v (?). Интегрируя затем уравнение х = v (f), найдем искомую функцию х = х (<).