Задача Стефана. 
Высшая математика: математический аппарат диффузии

Примером системы с движущейся границей является таяние льда: теплота (её можно трактовать как диффундирующую субстанцию) перетекает от воды ко льду, лёд превращается в воду, так что граница вода-лёд перемещается вглубь образца (и исчезает при полном таянии льда).

Эта задача в настоящее время распространена на существенно больший класс проблем, чем теплопроводность, в частности она используется при анализе диффузионных явлений.

Пусть две среды движутся относительно друг друга вдоль оси х, перпендикулярной наружной поверхности. Местоположение в среде 1 определяется координатой х_ь стационарной по отношению к среде 1, тогда как местоположение в среде 2 при координате лг₂ стационарно относительно среды 2. При времени t среды разделены плоскостью x_x=X_h х₂=Х₂, которая первоначально находится при a: i=jc₂=o. Среда 1 занимает всё или часть пространства Xi-сс<�х₂<�Х₂.

В обеих средах имеется диффузант, перемещающийся диффузионно относительно координат х_х и лг₂ и переходящий из одной среды в другую. Обозначим концентрации диффундирующих веществ при времени t как С_х при х_х и С₂ при х₂. Для двух сред справедливы уравнения:

где коэффициенты диффузии, А и, А не зависят от С_х и С₂.

В некоторый момент времени концентрации АСХД, С₂(Х₂) на каждой стороне границы раздела при равновесии связаны уравнением: С₂(ЛГ₂)=ГС₁(ЛГ₁)+/?,.

где Г и R — константы, например, если абсорбция газа подчиняется закону Генри, то Г — растворимость и R=о.

На границе раздела выполняется закон сохранения вещества, поэтому.

Как уже упоминалось, имеется константа пропорциональности между скоростями движения двух сред относительно границы раздела и следовательно.

Х₂=КрХ_х

где К_р — константа, определяемая условиями задачи, которая в некоторых случаях равна нулю.

Для бесконечной среды, в которой выполняется Ур.21, решение имррт пип:

где Ci (oo) и Сх (о) задаются начальными и граничными условиями, т. е.

Рис. з. Движущаяся граница между двумя средами.

Аналогично, решение для соответствующих условий.

Для тех же условий, количества диффундирующих веществ Vi и V₂,.

перемещённых через плоскости Xi=o, дг₂=о при времени t в направлении уменьшающегося л: описываются уравнениями:

Эти решения применимы только для бесконечной среды.

Задача Стефана представляет собой особый вид краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных, описывающая изменение фазового состояния вещества, при котором положение границы раздела фаз изменяется со временем. Наличие границ раздела между фазами, которые не задаются явно и могут смещаться со временем, является характерной особенностью таких задач. Скорость смещения межфазных границ определяется дополнительным условием на границе раздела фаз, что приводит задачу к нелинейному виду.

Примером является процесс диффузионного взаимодействия в бинарной металлической системе А—В с аи (3-фазами, которые представляют собой регулярные твёрдые растворы. Обозначим через 5(0 положение подвижной межфазной границы, тогда a-фаза занимает область О? х.

(3-фаза $(t)о^а ^ — уравнение описывает изменение концен;

dt дх²

трации в a-фазе, а ^^в — о# — изменение концентрации в (3-фазе,.

dt дх²

d% _ rp dN_в гуадМн определяет скорость движения.

^dt ох _-_(/)+0 дх _4{lh0

межфазной границы, _# — граничные условия, где Nn (x, t) —

& ,. дх _xmL

концентрация атомов сорта В, />' и DP — коэффициенты диффузии в фазах, ЛГв^а=№(5(0-о, 0 — значение концентрации на правой границе а-фазы, NbP=№(5(0-O, 0 — значение концентрации на левой границе (3-фазы.

Эта задачадопускает аналитическое решение.