Метод обратной итерации

Метод обратной итерации, по существу, является степенным методом, примененным к соответствующей обратной матрице. Рассмотрим кратко теоретические основы этого метода. Умножая выражение (4.1) на матрицу А^-1, задачу на собственное значение можно записать в другом виде:

Это значит, что собственный вектор матрицы А является собственным вектором матрицы А ¹ и ^"(А¹) = 1/А,_и(А). Выберем некоторый начальный вектор х⁽⁰⁾ и разложим его по собственным векторам матрицы А:

Умножая вектор х⁽⁰⁾ k раз на матрицу А^-1, получим.

Когда k —^[1][2]— оо_т у (*) стремится к вектору, коллинеарному с вектором Zj. Поэтому последовательные степени матрицы А^-1 дают информацию о наименьшем по модулю собственном значении матрицы А. На практике вычислять матрицу А ¹ нецелесообразно, так как решение системы Ау = х относительно вектора у требует меньше затрат, чем вычисление у = А *х. Суммируя все эти замечания, можно предложить следующую реализацию метода обратной итерации:

• 1) задать начальный вектор х⁽⁰⁾;
• 2) для каждого значения k = 0, 1, … решить систему линейных уравнений Ау^⁺¹⁾ = х⁽^;
• 3) следующее приближение вычисляется как х^(Ь1) =

и справедлива следующая оценка.

Таким образом, скорость сходимости метода обратной итерации зависит от того, насколько Х меньше, чем |А,₂|.

Пример 4.3 (метод обратной итерации) Рассмотрим матрицу из примера 4.2. Выберем начальный вектор х⁽⁰⁾ = (1, О, О, 0)^г и е_р= 10 ⁵. Результаты вычислений приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Для этой матрицы метод обратной итерации сходится довольно быстро, так как асимптотическая константа сходимости С = Х_х/Х₂ ~ 0.2764. Если нам нужно только собственное значение, то достаточно 5 итераций, чтобы вычислить его с точностью до четырех знаков.

Метод обратной итерации требует больше вычислительных затрат по сравнению со степенным методом, так как необходимо решать систему линейных уравнений на каждом шаге итерационного процесса. Однако это количество операций может быть уменьшено, если учесть тот факт, что матрица, А остается постоянной для всех итераций. Поэтому в начале вычислительной процедуры следует разложить матрицу, А (см. 3.6.1), тогда решение системы уравнений в параграфе 2 сводится к решению двух систем с треугольными матрицами. При таком подходе вычислительные затраты для решения К систем уравнений сравнимы с затратами для решения одной системы.

• [1] если при некотором значении k ||х (*+1) — х</е)|| < ер, тогда х^+1^ — приближенный собственный вектор Z и S == р (х^'и*) — приближенное минимальное по модулю собственное значение
• [2] Сходимость метода обратной итерации. Если все Хпразличны и (zjV, х (0)) 0, тогда