Средняя длина пробега и частота столкновений молекул

Постоянное движение молекул приводит к их частым столкновениям. Это движение и столкновения могут приводить к передаче (переносу) вещества, энергии, импульса и т. д. в различных средах. Особенно существенным этот перенос является для неравновесных систем, в которых сильно различаются отдельные части. Именно изучением таких процессов занимается физическая кинетика. Явления переноса могут быть связаны с выравниванием неоднородностей плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения слоев вещества. Явления переноса состоят в том, что в среде возникает направленный перенос массы (диффузия), внутренней энергии (теплопроводность), импульса (внутреннее трение, или вязкость).

Ключевую роль в физической кинетике играют столкновения, их частота и пробеги молекул. Поэтому изучим их подробнее. Начнем с оценки средней длины пробега молекул газа. Эта величина равна среднему расстоянию, которое пролетает молекула между очередными ее столкновениями с другими молекулами газа. Условие, что молекулы газа должны чаще претерпевать взаимные столкновения по сравнению со столкновениями со стенками, соответствует случаю, когда размеры сосуда существенно превышают длину свободного пробега молекул.

Рис. 11.1.

Рассмотрим сначала процесс столкновений движущейся со скоростью v (быстрой) частицы диаметра d с неподвижными частицами среды диаметра D.

Быстрая частица столкнется с неподвижной, если центр неподвижной частицы попадет внутрь цилиндра диаметром d + D, причем ось цилиндра определяется вектором скорости быстрой частицы (рис. 11.1). В результате, чтобы движущаяся частица претерпела в среднем одно столкновение,.

(d + D)¹

пройдя путь X, внутрь цилиндра с основанием площадью п—-и длиной X должен попасть центр одной молекулы среды. Таким образом, средняя длина пробега быстрой частицы X оказывается связанной через объем.

(?d + Df 1 4.

цилиндра V = п ' X с концентрацией частиц среды п = — = ———.

4 V n (d + D)~X

Отсюда средняя длина пробега быстрой частицы равна.

Эта формула справедлива для оценки пробегов, например, быстрых электронов и фотонов в различных средах. Частота столкновений (количество столкновений в единицу времени) выражается через скорость быстрой частицы:

Если диаметры сталкивающихся частиц равны (d = D), то.

и.

и Если диаметр одной из сталкивающихся частиц мал по сравнению с диаметром другой, то из формул (11.1) и (11.2) следует.

где г — радиус большой частицы; о — площадь ее сечения.

Остальные формулы теории столкновений часто тоже выражаются через площадь сечения (или просто сечение столкновения), равную площади сечения цилиндра (см. рис. 11.1). Из рисунка очевидно, что при столкновении одинаковых частиц сечение столкновения, пропорциональное квадрату диаметра, вчетверо больше сечения частицы. Таким образом, вероятность столкновения определяется площадью сечения (сечением) частиц.

Получим теперь выражение для длины пробега молекул идеального газа. Задача несколько усложняется тем, что при столкновении обе молекулы двигаются. Поэтому перейдем в систему отсчета, связанную с одной из молекул. Вторая молекула в этой системе будет двигаться с относительной скоростью v_OTll. В соответствии с формулой (11.2) частота столкновений изменится пропорционально отношению относительной скорости и скорости молекул в лабораторной системе отсчета. Найдем связь относительной скорости со скоростью молекул в лабораторной системе отсчета. Предположим, что сталкивающиеся молекулы имеют в лабораторной системе скорости и д₂ (рис. 11.2). В со- Рис. 11.2 ответствии с рис. 11.2 по правилу сложения векторов.

Усредняя это выражение, получим, что каждое положительное значение косинуса компенсируется отрицательным, так что последний член формулы (11.7) равен нулю. Таким образом, получим выражение среднеквадратичной относительной скорости через среднеквадратичную: = 2или.

v_Kno = V2b_KB. Полагая отношение среднеквадратичных и средних скоростей одинаковым, получим, что относительная скорость в V2 раз больше лабораторной, а это из равенства (11.4) дает формулу для средней частоты столкновений молекул

где, а = кс1² — сечение столкновения одинаковых молекул. Тогда в лабораторной системе несложно найти среднюю длину пробега молекул:

Отметим: полученные формулы предполагали, что форма молекул близка к шарообразной, а это не совсем верно. Однако введение понятия эффективного сечения улучшает ситуацию, поскольку его можно оценить не только у шара. Впрочем, экспериментальные значения сечений к тому же отличаются при использовании разных способов измерения.