Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии

При расчете на растяжение или сжатие одного элемента конструкции можно считать уже определенными сочетание нагрузок (р = 1) и уровень надежности (у" = 1). Тогда условие прочности (5.20) для случая растяжения (сжатия) можно записать в виде.

или С помощью выражения (5.23) могут быть решены задачи следующих трех типов.

• 1. Расчет на прочность существующей конструкции или ее элемента с определенными размерами и известной нагрузкой. При этом определяют напряжения в расчетном сечении и сравнивают их с расчетным сопротивлением по формуле (5.23). Задачи этого типа называют поверочным расчетом.
• 2. Определение предельной нагрузки на конструкцию или ее элемент. При этом по формуле (5.22) определяют значение предельной продольной силы и по ней — действующую нагрузку. Задачи этого типа называют определением грузоподъемности.
• 3. Определение размеров поперечного сечения элемента конструкции при известном материале и действующей нагрузке:

Задачи этого типа называют подбором сечений.

При расчете по второй группе предельных состояний условие жесткости (5.21) при растяжении (сжатии) с учетом (5.10) в общем случае принимает вид.

а в случае действия одной силы на стержень постоянного сечения.

где [Д/] — допускаемое изменение длины стержня при действии нормативных нагрузок.

Рассмотрим несколько примеров расчета стержней на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Пример 5.6.

Требуется определить допускаемую нагрузку [ /•'] на кирпичный столб сечением 64×64 см (2,5×2,5 кирпича) и высотой Н= 2,4 м из условия прочности кладки на сжатие. Расчетное сопротивление кладки Л = 1,15 МПа, плотность у = 17,65 кН/м³, коэффициент условия работы у_с = 1,0.

Решение. 1. Площадь поперечного сечения столба Л_ш = 0,64 • 0,64 = 0,4096 м².

• 2. Наибольшая сжимающая сила в основании столба N= [Т| + уАН= [Т| + 17,65 • 0,4096 • 2,4 = F + 17,35 кН.
• 3. На основании условия (5.22) имеем N=[F+ 17,35 < 1,5 • 103 • 0,4096 = 614,4 кН, откуда

[F] < 614,4 — 17,35 = 597,05 кН.

Пример 5.7.

Требуется определить допускаемую нагрузку [F] на балку (рис. 5.17, а), поддерживаемую стальными тягами 1 и 2 (см. рис. 5.17, а), из условий ограничения вертикального перемещения балки на величину не более чем [Д/] = //2000 = 0,25 см и прочности. Стальные тяги диаметром d = 20 мм изготовлены из стали марки С285. Расчетное сопротивление R,. = 280 МПа (см. прил. 2), модуль упругости Е = 2,06 • 10⁵ МПа = 2,06 • 10® кПа (см. прил. 1). Коэффициент условия работы у_с = 1,0, коэффициент надежности по нагрузке уг = 1,1.

Решение. 1. Проведем сечение по тягам 1 и 2 (рис. 5.17, б) и, приведя распределенную нагрузку к равнодействующей R_q = ql= 5q, определим из условий равновесия усилия в тягах, выраженные через значение нагрузки q.

Ш_А = 0; 2,5<�у 1,5 + 5q- 2,5 — Щ • 5 = 0, N₂ = 3,25q.

Lv/_B = 0; TV, — 5 — 2,5<7 • 3,5 — 5q • 2,5 = 0, /V, = 4,25q > N₂,

JV) > iV₂, значит удлинение стержня 1 будет больше удлинения стержня 2.

Рис. 5.17.

• 2. Площадь сечения стержней тяги A_nt= кг² = п ? 0,01² = 3,14 • 10^-4 м².
• 3. Жесткость тяги ЕА = 2,06 • 10⁸ • 3,14 • 10″ ⁴ = 6,47 • 10⁴ кН.
• 4. Удлинение тяги 1 согласно формуле (5.9)

А/, = ЛУ, / ЕА- 4,25*7 • 2/6,47 • 10⁴ = 1,314*7 • 10 ⁴ м.

На основании (5.26) можем записать:

А/, = 1,314*7 • 10⁴ < [А/] = 0,0025,.

откуда допускаемое значение распределенной нагрузки будет 1*7] = 0,0025/1,314 • 10-⁴ = 19 кН/м, а значение сосредоточенной силы (по условию задачи).

[F] = 0,5*7/ =0,5- 19 -5 = 47,5 кН.

5. Расчетные значения нагрузок:

F = [F] _У/ = 47,5 • 1,1 = 52,25 кН;

*7 = [<7] _Уу = 19 • 1,1 = 20,9 кН/м.

• 6. Значение продольной силы в тяге 1 при полученном значении нагрузки N_{ = 4,25*7 = 4,25 • 20,9 = 88,83 кН.
• 7. Нормальное напряжение в тяге 1

а = N_x/A = 88,83/3,14 • 10 ⁴ = 281,2 • 10³ кПа, т. е. условие прочности (5.23) выполняется, так как, а = 281,2 МПа < R_lf = 285 МПа.

Пример 5.8.

Требуется определить сторону а квадратного сечения деревянного подкоса 1 (рис. 5.18, а). Расчетное сопротивление на сжатие вдоль волокон (сосна) R_c = 14 МПа (прил. 4). Коэффициент условия работы у_с = 1,0.

Рис. 5.18.

Решение. 1. Удалим стержень 1 и заменим его действие усилием Л^г, (рис. 5.18, 6). Плечо до силы ЛГ, из точки С h = 1 • cos45° = 0,7071 м.

Величину усилия найдем из уравнения.

• ?Л/ПРАВ _{= 0}; 40−2 +N, 0,7071 = 0, N_x =-113,14 кН (сжатие).
• 2. Требуемая площадь поперечного сечения согласно (5.24)

А_ф = а? > ЛГ, / (R_c y_c) = 113,4/(14 000? 1) = 0,0081 м²,.

откуда а =^0,0081 = 0,09 м. Принимаем а = 9 см.

Пример 5.9.

Требуется проверить прочность ступенчатого стержня (рис. 5.19, а). Материал — чугун марки СЧ15. Расчетные сопротивления (см. ирил. 4) на сжатие и растяжение соответственно R₍. = 160 МПа и R_{ = 55 МПа.

Рис. 5.19.

Решение. 1. Определим горизонтальную опорную реакцию в точке А.

Хх = 0; -Н_А + 65 — 40 = 0, Н_А = 25 кН.

• 2. Назначим расчетные участки бруса. Границами расчетных участков будут места ступенчатого изменения сечения бруса и точки приложения внешних нагрузок. Таким образом, для бруса имеем три расчетных участка (рис. 5.19, б).
• 3. Определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим эпюру N.

Участок 1. N = Х. Р^ЛЕВ= 25 кН.

Участок 2. N₂ = 5>ев = 25 — 65 = -40 кН.

Участок 3. N₃ = N₂ = -40 кН.

Эпюра продольных сил N, построенная по полученным данным, показана на рис. 5.19, в.

4. Площади поперечных сечений стержня по участкам:

А, =А₂ = л ? 0.015² ₌ 7,07? 10−4 м²; А₃ = л • 0,01² = 3,14 • 1<�И м².

5. Определим нормальные напряжения на расчетных участках и построим эпюру напряжений о.

Участок 1.a_i=N_i/A_l = 25/7,07- 10 4 = 3,536- 10'* кН/м² = 35,36 МПа.

Участок 2. а, = N₂/A₂ = -40/7,07 10 4 = -5,658 • 10⁴ кН/м² = -56,58 МПа.

Участок 3. ст₃ = N₃/A₃ = -40/3,14 1 0 4 = -12,739 104 кН/м² = -127,39 МПа.

Эпюра напряжений ст показана на рис. 5.19, г.

6. Как видно из построенной эпюры напряжений, проверке прочности подлежат сечения на первом (на растяжение) и третьем (па сжатие) участках, для которых су 1 = 35,36 МПа 55 МПа; а₃ = 127,39 Mila < R_c = 160 Mila.

Таким образом, условия прочности для рассматриваемого стержня выполняются.