Аналогия, связанная с преобразованиями геометрических фигур

Если какое-либо предельное преобразование некоторой геометрической фигуры приводит к другой геометрической фигуре, то такие фигуры можно считать аналогичными. Это связано с тем, что каждое преобразование сохраняет определенные свойства геометрических фигур, поэтому, относительно таких свойств, исходную и преобразованную фигуры можно считать аналогичными.

Существуют такие преобразования, которые, как пишет Д. Пойа, достигают точности математического понятия. Укажем здесь те из них, которые рассматриваются в школе.

• 1. Движения, т. е. преобразования геометрических фигур, сохраняющие расстояние между точками. К таким преобразованиям можно отнести:
  • • параллельный перенос;
  • • преобразование симметрии относительно точки;
  • • преобразование симметрии относительно прямой;
  • • преобразование симметрии относительно плоскости;
  • • поворот на плоскости;
  • • вращение вокруг оси в пространстве.
• 2. Преобразования подобия, т. е. преобразования геометрических фигур, сохраняющие их форму. Наиболее простым из них является гомотетия. На рис. 2.15 треугольники ABC, MBN и КВМ попарно подобны, однако, из них гомотетичны только треугольники АВС и MBN.

Рис. 2.15

• 3. Проектирование стереометрических фигур на плоскость и плоскости на плоскость. Здесь можно выделить:
  • • прямоугольное или ортогональное проектирование;
  • • параллельное проектирование;
  • • центральное проектирование.

Каждое проектирование сохраняет свои определенные свойства.

Итак, мы рассмотрели несколько способов нахождения аналогичных понятий планиметрии и стереометрии. Однако ввиду субъектного характера аналогии следует заметить, что их существует гораздо больше. Но, как показала практика, отмеченных способов для организации учебного процесса по составлению списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии учителю вполне достаточно.

Как показал педагогический эксперимент, полезно предлагать учащимся плоскостные и пространственные аналоги, оформленные в виде таблиц. Такими таблицами могут быть следующие (табл. 2.2—2.5).

Таблица 2.2

Аналогичные аксиомы плоскости и пространства.

Аксиомы планиметрии	Аксиомы стереометрии
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (уточненная аксиома: прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости).	4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства.

Аналогичные теоремы плоскости и пространства.

Теоремы планиметрии	Теоремы стереометрии
2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.	2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
3. В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон.	3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
4. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке Ах, а сторону ВС — в точке В j. Тогда треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1	4. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
5. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих. S (Fj) Ь2. линейных размеров: =К* S (F2).	5. Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих. V (7i) ,3 линейных размеров: =К° V{T2)

Аналогичные свойства параллелограмма и параллелепипеда.

Таблица 2.4

Окончание табл. 2.4
Свойства параллелограмма	Свойства параллелепипеда
3. Диагонали прямоугольника равны.	3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
6. Диагонали квадрата пересекаются в точке, являющейся центром вписанной и описанной окружностей.	6. Диагонали куба пересекаются в точке, являющейся центром вписанной и описанной сфер

Таблица 2.5

Аналогичные свойства окружности и сферы.

Две окружности	Две сферы

Две окружности	Две сферы