Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. 
Понятие конформного

отображения^[1]

где x (t), y{t) — действительные функции действительного переменного t. В дальнейшем предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные на интервале (а,/3), причем x'(t) и ;*/'(?) не обращаются в нуль одновременно. Кривая, обладающая указанными свойствами, называется гладкой.

Так как каждая точка (х, у) на плоскости задается комплексным числом z = x + iy, то уравнения (8.1) можно записать в более компактной форме:

Возьмем значения to и *о + At из интервала (о,/?). Им соответствуют точки z (to) и z (to + At,) на кривой. Вектор

направлен, но секущей, проходящей через эти точки (рис. 16). р_ис Если умножить Az на действительное число 1 /At. то получим вектор Az/At, коллинеарный вектору Az. Начнем уменьшать At. Тогда точка z (to + At) будет приближаться к z (to) по кривой; вектор Az/At будет поворачиваться, приближаясь к вектору.

Предельное положение секущих, проходящих через точку z (t.₀)i называется касательной к кривой в этой точке. Таким образом, вектор z'(to) направлен по касательной к кривой в точке z (tо).

Пусть теперь задана функция f (z), аналитическая в точке zq, причем f'(z₀) ф 0. Предположим далее, что через точку zo проходит кривая 7, заданная уравнением z (t) = x (t) + iy (t), и z (to) = zq. Кривая 7 отображается функцией w = f (z) в кривую Г, лежащую в плоскости переменного w; уравнение кривой Г будет иметь вид w (t) = f (z (t)); точка zo отобразится в точку Wo = f (zo). По правилу дифференцирования сложной функции.

Отсюда следует (см. (2.6)), что.

Но z'(to) есть вектор, касательный к кривой 7 в точке zo (рис. 17, а), a w'(t0) — вектор, касательный к кривой Г в точке шо (рис. 17, б). Поэтому равенство (8.3) позволяет придать величине Arg f'{zo) следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу,.

на который поворачивается касательная в точке zq к любой кривой, проходящей черев эту точку. при отображении w = /(г). Заметим, что этот угол не зависит от кривой 7, т. е. касательные ко всем кривым, проходящим через точку го, поворачиваются при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный Arg /'(го).

Возьмем какие-либо две кривые 7 и 71, проходящие через точку 2о, и проведем касательные к этим кривым (рис. 17, а). При отображении.

Рис. 17.

ш = f (z) кривые 7 и 71 перейдут в кривые Г и Гi, а каждая из касательных к 7 и 7i повернется на один и тот же угол. Поэтому угол в между касательными к 7 и 71 будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к Г и Г1. Напомним, что углом между кривыми в точке zq называется угол между касательными к этим кривым в точке Zq. Таким образом, если /'(го) ф О, то отображение w = f (z) сохраняет углы между кривыми.

2. Геометрический смысл модуля производной. Зафиксируем точку zo и возьмем приращение аргумента Дг; очевидно, что модуль |Дг| равен расстоянию между точками zq и z = zo + А г (рис. 18, а). Пусть w = f (z), Aw = w — wo. Тогда величина |Дм|/|Дг| указывает, в каком отношении изменяется расстояние между точками го и г в результате отображения w = /(2). Предо,! lim (|Д?с|/|Дг|).

Дг—>0.

называется коэффициентом растяжения в точке го при о тображении w = /(г). Поскольку.

то модуль |/'(го)| равен коэффициенту растяжения в тачке го при отоб1Х1жении w = /(2). Если f'(zo) > 1, то в достаточно малой окрестности точки го расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если |/^#(*о)| < 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения).

Так как производная f'(zo) не зависит от того, по какому пути точка zo + Az приближается к zo, то коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем окружность I с центром Zo и радиусом |Дг| (т.е. приращения Дz имеют фиксированный модуль, но различные направления рис. 18, в). При отображении w = f (z) эта окружность перейдет в кривую L (рис. 18, б); расстояние от точки w = f (zo + Az) этой кривой до точки wq = J{zq) равно.

Рис. 18.

где q (A^) —у 0 при Az —" 0, то |w — tcol = f'[zo)Az + а (Д, г) Д;г|. Это равенство означает, что точки кривой L будут мало отличаться от окружности w — wo = f'(zo) Az с центром wq и радиусом.

• (точнее говоря, будут отличаться от этой окружности на величину более высокого порядка малости, чем Az — рис. 18, б).
• 3. Понятие конформного отображения. Отображение называется конформным о точке Zq. если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку zo; 2) растяжение в точке zq не зависит от направления.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 8.1. Если функция w = f (z) является аналитической в точке zo и f'(zo) ф 0, то f (z) осуществляет конформное отображение первого рода в точке zq. При этом Arg f'(zo) означает угол поворота, a f'(zo) — коэффициент растяжения при данном огпображении.

Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = z, которая каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно оси ОХ.

Если /'(го) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке Zo. Так, отображение w = z² увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат — см. пример 5.1 и равенства (5.1).

• [1] Геометрический смысл аргумента производной. Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями