Вычисление производящих функций, математического ожидания и дисперсии суммарного иска

Допущения:

Рассматривается фиксированный промежуток времени, достаточно короткий, чтоб не учитывать изменение стоимости денег со временем Плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода Рассматриваются иски, поступающие в страховую компанию У₁, У_2, ,…, У_i — СВ (случайные величины); имеют одинаковое распределение, положительны и независимы.

Рассматриваются СВ V — общее число исков за рассматриваемый промежуток времени СВ V, У₁, У_2, ,…, У_i — независимы.

S=У₁ + … + У_V; V=0 => S=У₁ + … + У₀ =0;

R=P (S>U) = 1- F_S(U).

Основные характеристики суммарного иска.

S=У₁ + … + У_V, Vчисло исков (0,1,2.).

ТЕОРЕМА:

S=У₁ + … + УV,.

где У_i— независимые, V имеет производящую ф-ю вер-ти: m_V (z) = E (z^V), У_i имеет производящую функцию моментов M_Y (t) = E (е^Уt) => M_S(t)= m_V (M_Y (t)).

Доказательство:

M_S(t)=E (е^St) = E (e ^(У₁ ^{+ … + У}_V^{) t})= У от i=0 до ?(E (e^(У₁ + … + У_V)РV=i)*P (V=i))= У от i=0 до? (E (e^(У₁t+ … + У_it)*P (V=i)=< У₁, У₂ — независимые > = У от i=0 до? (E (е^(У₁t)… E (е^(У_it)*P (V=i))= У от i=0 до? ((M_Y (t))ⁱ*P (V=i)).

m_V (z)=E (z^v)= У от i=0 до ?((z^i)*P (V=i));

M_S(t)= m_V (M_Y (t)).

Замечание: У_i -дискретная СВ, принимающая неотрицательные целые значения => S — дискретная СВ, принимающая неотрицательные целые значения. m_S (z) = m_V(m_Y(z)), m_Y (z) = E (z^Y) — производящая функция вероятностей Y.

ТЕОРЕМА:

S=У₁ + … + У_V => ES=EY*EV, Var S= Var Y* EV + Var V (EY)².

Доказательство:

M_S(t)= m_V (M_Y (t)); ES=M_S'(0);

Var S = M_S''(0)-(M_S'(0))².

M_S'(t)= m_V' (M_Y (t)) * M_Y' (t);

M_S''(t)= m_V'' (M_Y (t)) * (M_Y' (t))² + m_V' (M_Y (t)) * M_Y'' (t);

M_S'(0)= m_V' (M_Y (0)) * M_Y' (0)= ((M_Y (t) = E (е^Уt))) = m_V' (1) * M_Y' (0)= EV*EY;

VarS = M_S''(0)-(M_S'(0))² = m_V'' (M_Y(0)) * (M_Y'(0))² + m_V' (M_Y(0)) * M_Y''(0) — (EV*EY)²= m_V''(1) * (EY)² + EV * E (Y²) — (EV*EY)² = ((VarV=m''(1)+m'(1)-m'(1)²= m''(1) +EV -(EV)²)) = (Var VEV + (EV)²) (EV)²+ EV * E (Y²) — (EV*EY)² = Var V (EY)² + EV (E (Y²) — (EY)²) = Var Y* EV + Var V (EY)².