Представление немонохроматических волн в виде интеграла Фурье

Переменные электромагнитные поля, создаваемые реальными источниками, как правило, в той или иной степени являются немонохроматическими. Предположим, что поле в данной точке может быть разложено в интеграл Фурье. Запишем это разложение, обобщая формулу.

в виде

Здесь U'(t) — какая-либо декартова компонента векторов Е, Н или А, являющаяся действительной величиной. Фактически в разложение (3.1) основной вклад обычно вносит некоторая конечная область частот щ, которая определяется видом функции u (щ).

В данном случае, как и для монохроматических волн, удобно комплексное описание поля.

По аналогии с.

свяжем с полем (3.1) комплексную функцию.

Причем Мнимая часть.

однозначно определяется действительной частью U'(t), так как она получается из последней путем замены фазы каждой фурье-гармоники на Величина U (t) называется аналитическим сигналом. Она часто используется в теории волновых полей, теории колебаний, радиотехнике и др. Характерной особенностью функции U (t) является то, что она содержит гармоники Фурье только с положительными частотами. Следовательно, если U (t) ограничена при всех действительных t, то она останется ограниченной и при комплексных значениях лежащих в нижней полуплоскости В самом деле, заменяя в (3.2) t на.

t' + i, мы получим под интегралом дополнительный множитель, который при t" < 0 только усилит сходимость интеграла по. Это показывает, что функция рассматриваемая при комплексных t, аналитична (не имеет особенностей) в нижней полуплоскости.

Аналитичность U (t) в нижней полуплоскости комплексного t позволяет установить простую интегральную связь между и Для этого рассмотрим интеграл (3.5) по замкнутому контуру С (рис. 3.1), при этом точка t' = t обходится по дуге малой полуокружности снизу. Поскольку U (t) и не имеют особенностей внутри контура интегрирования, этот интеграл обращается в нуль:

Интеграл по дуге большого круга обращается в нуль ввиду быстрого убывaния U (t') при t' в нижней полуплоскости. Интеграл по малой полуокружности вычисляется непосредственно и дaет полувычет подынтегральной функции:

Наконец, оставшийся интеграл по действительной оси с исключенной точкой должен вычисляться в смысле главного значения, т. е. из интегрирования исключается отрезок (t — р, t + р) действительной оси, причем В итоге, учитывая (3.6), приведем (3.5) к виду.

Разделив в действительную и мнимую части, найдем искомые соотношения между ними:

Соотношения (3.8), связывающие действительную и мнимую части некоторой комплексной функции действительной переменной, в матемaтике носят название преобразования Гильберта. Они играют важную роль в физике и называются обычно дисперсионными соотношениями, так как впервые были исследованы в теории дисперсии света.

Более удобной, чем, является комплексная форма записи фурье-разложения действительной функции :

где интеграл (3 .9а) действителен, так как.

Переписав (3. 9а) в виде

и сравнив эту запись с (3.1), найдем связь между действительной и () и комплексной амплитудами Фурье:

Последнее соотношение позволяет записать разложение Фурье аналитического сигнала в виде.

Оно по-прежнему, разумеется, содержит только положительно-частотные гармоники Фурье.

Разложение Фурье позволяет найти спектральный состав энергии немонохроматического электромагнитного поля.