Задачи для самостоятельного решения

• 4.1. Предположим, что х и у — вещественные числа, а Р (х, у) обозначает предикат (х + у = 0). Опишите содержание следующих формул с предикатами словами:
  • а) УхЗуР (х, у); б) Зу/хР (х, у).
• 4.2. Р (х)= (х — целое число) и х² = 16. Сформулируйте утверждение 3xP (xJ (y)) словами.
• 4.3. Пусть Р (х) = (х— вещественное число) и х² + 1 = 0. Сформулируйте высказывание ЗхР (х).
• 4.4. Запишите логические формулы метода математической индукции: 1 + 5 + 9 + +… + (4п — 3) = п (2п — 1) для всех натуральных чисел.
• 4.5. Запишите доказательство методом математической индукции: 1 • 1! + 2 • 2! + +… + п • п = (п + 1)! — 1 для всех натуральных чисел.
• 4.6. Запишите утверждение формулой:
  • а) «Мощность любого подмножества z множества t не больше мощности множества ?»;
  • б) «Если две прямые на плоскости не параллельны, то они имеют общую точку»;
  • в) «Через две различные точки проходит одна прямая».
• 4.7. Запишите рассуждения формулой:
  • а) «Все, кого любит Джон, любят музыку. Анна любит музыку. Следовательно, Джон любит Анну»;
  • б) «Всякий парикмахер х бреет всех тех и только тех у, кто не бреется сам. В Джонсвиле все бреются сами. Следовательно, в Джонсвиле нет парикмахеров»;
  • в) «Никакой торговец старыми автомобилями не покупает старые автомобили. Некоторые покупатели старых автомобилей — обманщики. Следовательно, существуют обманщики, которые не торгуют старыми автомобилями».
• 4.8. Запишите в символической форме:

«Если число простое, то некоторые четные числа делятся на э го число. Если число нечетное, то любое простое число не делится на него. Для того чтобы число было нечетным, необходимо, чтобы число было простым и не делилось на два».

• 4.9. Запишите формулой с предикатами:
  • а) «Для каждой пары натуральных чисел тип существует такое натуральное число р, что т + р = п. Всякое натуральное число меньше его квадрата»;
  • б) «Некоторые республиканцы любят демократов. Ни один республиканец не любит социалистов. Следовательно, ни один демократ не является социалистом»;
  • в) «Все рациональные числа являются действительными числами. Некоторые рациональные числа — целые. Следовательно, некоторые действительные числа целые»;
  • г) «Отец отца данного индивидуума является дедом индивидуума. У всякого индивидуума есть отец. Следовательно, у каждого индивидуума есть дед»;
  • д) «Фирма Widco поставляет отвертки, фирма Bronco — шурупы, фирма Еко — набор инструментов. Если существует фирма, которая поставляет набор инструментов, то она поставляет и шурупы. Кто поставляет шурупы?»;
  • е) «Можно обманывать некоторых все время. Можно обманывать всех некоторое время. Но нельзя обманывать всех все время. Следовательно, существует некто, кто может быть обманут только однажды».
• 4.10. Сформулируйте и докажите теорему с применением резолюции: «Если философ — дуалист, то он не материалист. Если философ — материалист, то он может быть дуалистом или метафизиком. Сократ — не метафизик. Кто Сократ?»
• 4.11. Сформулируйте и докажите теорему с применением резолюции:

«Предок предка данного индивидуума — также предок этого индивидуума.

Не существует предка самого себя. Следовательно, существует некто т, не имеющий предков".