Место четырехмерия и кривизны в теории относительности

Начнем с рассмотрения вопроса о месте четырехмерия в теориях относительности: относится ли оно к модельному или математическому слою (см. схему (9.2.1)).

Через три года после создания А. Эйнштейном СТО математик Г. Минковский, после введения своей геометрии, провозгласил: «Отныне пространство само по себе и время само по себе должно обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранять самостоятельность» [23, с. 167]. К чему следует относить это высказывание: к физической реальности или лишь к математическому приему или аппарату? Подавляющее большинство физиков и философов солидарны с Минковским¹. Однако так ли уж тут все однозначно?

Начнем с СТО. Суть применения геометрии Минковского связана с тем, что в СТО расстояния и интервалы времени зависят от системы отсчета, а если ввести понятие четырехмерного «события» (состоящего в том, что физический объект находится в данном месте трехмерного пространства в данный момент времени), то можно составить инвариантную для всех инерциальных систем отсчета комбинацию вида ds_X2 = dx^[1][2]2 — c^[2]dt_X2 > где с — скорость света; dt_X2 — интервал времени между событиями «1» и «2»; dx 12 — расстояние между точками, отвечающими событиям «1» и «2». В силу инвариантности величины ds_{2, называемой «интервалом» между событиями «1» и «2», «четырехмерное пространство^[2] событий», о котором говорит Минковский в своей статье 1908 г., оказывается очень удобным^[5].

По этому поводу А. Пайс пишет: «Так началось великое формальное упрощение СТО. Вначале это не произвело на Эйнштейна большого впечатления, он счел запись своей теории в тензорной форме „излишней ученостью“» [21, с. 148]. И действительно, все три основных кинематических эффекта" СТО — сокращение длин, замедление времени и относительность одновременности — есть, в первую очередь, следствие изменения главного эталона в процедурах измерения (|И} на схеме 9.2.1). То есть для понимания СТО четырехмерия не требуется. То есть в СТО четырехмерие, о котором говорит Г. Минковский, относится к математическому представлению (математическому слою схемы 9.2.1), это еще одно математическое представление, после исходного эйнштейновского 1905 г. Так его Эйнштейн поначалу и воспринял.

Посмотрим теперь, что происходит с ответом на поставленный вопрос в ОТО. В ОТО Эйнштейн, используя принцип относительности гравитации и ускорения, утверждавший, что локально действие любого гравитационного поля эквивалентно действию соответствующего ускорения (опыт в лифте), сводит гравитацию к изменению метрики, сводя гравитацию к кривизне. При этом, хотя «опыт в лифте» относится к обычному трехмерному пространству, изменение метрики в виде кривизны Эйнштейн вводит в четырехмерном пространстве-времени Минковского. Согласно А. Пайсу в 1912 г. Эйнштейн «усвоил тензорные методы, а в 1916 г. выразил признательность Минковскому за то, что тот значительно облегчил переход от СТО к общей теории относительности» [21, с. 148]. Действительно, уравнения Эйнштейна в ОТО выражены на языке четырехмерного пространства событий, в котором, по сути, к четырехмерию Минковского добавлена кривизна Римана.

В результате в ОТО поставленные в конце параграфа 14.1 вопросы можно, исходя из схемы 9.2.1, переформулировать так: 1) является ли кривизна математическим образом гравитационного поля или гравитация сводится к кривизне (т.е. принадлежит ли кривизна математическому или модельному слою); 2) если второе, то физическим смыслом надо наделять искривление в четырехмерном пространстве-времени или в обычном трехмерном пространстве и одномерном времени?

Примером современной теории, дающей первый ответ на первый вопрос, является релятивистская теория гравитации (РТГ) академика А. А. Логунова [17], которая, по его словам, является «объединением идеи Пуанкаре о гравитационном поле [23] как о физическом поле в духе Фарадея — Максвелла с идеей Эйнштейна о римановой геометрии пространства-времени. Уравнения в данной теории существенно отличаются от уравнений Гильберта — Эйнштейна, поскольку в ней сохранено понятие инерциальной системы координат, а силы гравитации в принципе отличаются от сил инерции, так как они вызваны физическим полем». «Согласно этой теории гравитации однородная и изотропная Вселенная развивается циклически от большой плотности до минимальной и т. д., и может быть только плоской. Теория предсказывает существование во Вселенной значительной скрытой массы вещества. Существование во Вселенной „черных дыр“ полностью исключается^[6]. Теория объясняет все известные наблюдательные факты в Солнечной системе» [17, с. 187−189].

Логунов кладет в своей РТГ в качестве основания законы сохранения вместо эйнштейновского принципа эквивалентности инертной и тяжелой (гравитационной) массы. В моделях Ньютона или Логунова, моделях с силой или полем тяготения эта пропорциональность существует, но она не означает эйнштейновской эквивалентности инерционной и гравитационной масс. Для них, согласно Логунову, «силы гравитации принципиально отличаются от сил инерции» ^{[7]. В работе [11] показывается, что для не слишком сильных полей эйнштейновский подход через кривизну пространства-времени и полевой подход дают эквивалентные результаты.}

Хотя мейнстрим придерживается концепции А. Эйнштейна, а не А. А. Логунова, аналогия между гравитационным и электромагнитным полями постоянно проскакивает и там. Например, в «Физическом энциклопедическом словаре» в статье «Гравитационные волны» мы читаем: «Гравитационные волны — это переменное гравитационное поле, которое излучается ускоренно движущимися массами, „отрывается“ от своего источника и, подобно электромагнитному излучению, распространяется в пространстве со скоростью света» [26, с. 137]. «Гравитационную волну можно рассматривать как гравитационное поле, движущееся в пространстве. Такая волна должна была бы оказывать силовое воздействие на объекты, обладающие массой», — пишет Дж. Вебер [8, с. 179]. То есть здесь явно просматривается аналогия гравитационной и электромагнитной волн, а за ней и аналогия гравитационного и электромагнитного нолей. Только если состояние электромагнитного поля определяется значениями напряженностей электрического и магнитного полей, измеряемых пробными зарядами и петлями тока, то состояние «гравитационного поля» определяется значениями ускорения и ряда пространственных производных ускорения пробного массивного тела в различных точках пространства. Правда, Дж. Вебер добавляет: «Физик-релятивист говорит о гравитационной волне как о распространении кривизны пространствавремени», по тут же уточняет, что «более точным было бы, по-видимому, такое определение: гравитационная волна — это возмущение гравитационного поля, распространяющееся с конечной скоростью и несущее с собой энергию».

Другой пример — репрезентативное для ОТО явление — «гравитационный коллапс», который в «Физическом энциклопедическом словаре» описывается как «процесс гидродинамического сжатия тела под действием собственных сил тяготения» [26, с. 1371 в обычных трехмерном пространстве и одномерном времени (приблизительно то же мы найдем в работе 15, т. 2, с. 417]). Более того, на том же языке классической модели (но использя постулат ТО о наличии максимальной физической скорости) мы можем получить даже выражение для шварцшильдовского радиуса, рассматривая его как границу, на которой вторая космическая скорость для данной звезды становится равной скорости света, в результате чего ее не может покинуть даже свет, и она превращается в черную дыру, из которой ничего не выходит.

Таким образом, хотя общепринятым считается второй ответ на первый вопрос — гравитация сводится к кривизне^{, альтернативный (первый) ответ — кривизна является математическим образом гравитационного поля — окончательно со сцены не сошел.^[8]

Теперь обратимся ко второму вопросу — о месте четырехмерности пространства-времени. Для ответа на пего рассмотрим: 1) как строится уравнение движения для конкретных случаев; 2) как описываются характерные для ОТО эффекты; 3) что измеряется в ОТО, в частности, в случае попыток зафиксировать «гравитационные волны».

В целом типичная процедура постановки и решения задачи в ОТО выглядит следующим образом. Берут «затравочную классическую систему», которая состоит из одного или нескольких выделенных изучаемых тел (или непрерывной среды, или электромагнитного поля) и источников гравитационного поля — массивных тел и полей, распределенных в обычных трехмерном пространстве в определенный момент времени. Затем составляют для этой системы тензор энергии-импульса в четырехмерном пространстве-времени, который входит в уравнение, определяющее кривизну (точнее — метрику) в четырехмерном пространстве-времени ОТО^[9]. Окончательный же результат (то, что выявляет эксперимент) в конце концов всегда представляют на языке движения тел в обычных трехмерном пространстве и одномерном времени.

Рассмотрим теперь на примере гравитационных волн процедуры измерения в ОТО. В работе [2] «гравитационная волна» представляется как «рябь на статической кривизне» (имеется в виду кривизна в четырехмерном пространстве-времени Римана), но когда говорят о ее источнике и конструировании прибора для ее регистрации в конкретном эксперименте, то речь уже идет о «распространении» в обычном пространстве и времени «градиента ускорений», источником которого являются вращающиеся (в обычном пространстве и времени) двойные звезды, а приемником — разнесенные в обычном пространстве тела, взаимное смещение которых «вызвано переменной силой (гравитации. — А. Л.)».

Приводимые в оправдание таких описаний ссылки на необходимость все измерения выражать на «классическом» языке, с нашей точки зрения, не выдерживают критики, поскольку существуют описания последовательных процедур измерения величин, фигурирующих в геометрии пространства-времени Римана (см. статью Р. Манке в работе [8] (потенциал человеческого языка и мысли велик и понятие «классического» исторично)). Неверными нам представляются и ссылки на то, ч то такие непоследовательные описания являются приближениями и упрощениями. Ведь точность этих описаний ничем не ограничена. По сути последовательная с точки зрения Эйнштейна исследовательская программа (в терминологии И. Лакатоса, описанной в гл. 6) должна была бы реализовывать описанный Р. Мацке способ измерения величин, непосредственно отвечающих четырехмерному пространству-времени Римана, но этот способ столь сложен, что не выдерживает конкуренции с описанным выше и реально применяемым на деле более простым подходом с более простыми физическими.

моделями (где четырехмерное пространство-время Римана относится лишь к математическому слою).

Наконец, рассмотрим специфический для ОТО эффект — течение времени в двух системах отсчета при падении тела на «черную дыру»: связанной с падающим телом (в ней тело проходит сферу Шварцшильда и продолжает падать к центру «черной дыры») и внешней (где время замедляется до бесконечности при приближении тела к сфере Шварцшильда [15, т. 2]). Тут проявятся эффекты ОТО, но это по типу те же эффекты, что и в СТО, — разница в течении времени (ходе часов) и длине линейки, которые в ОТО зависят не только от относительной скорости систем отсчета, но и от ускорения и гравитационного поля. Остается в силе и главный кинематический постулат СТО — постоянство скорости света (имеется в виду ее скалярное значение, в ОТО свет распространяется не прямолинейно).

По сравнению с СТО в ОТО ситуация осложняется тем, что если в СТО одна система отсчета (один набор линеек и часов) действовала во всем пространстве, то в ОТО в каждой локальной области пространства надо, вообще говоря, вводить свою систему отсчета со своими линейками и часами, поскольку свойства (метрика) пространства и времени меняются и во времени, и от точки к точке. Но и здесь для описания (а не вычисления) самого явления не надо «перемешивать» пространство и время. Это утверждение созвучно позиции П. Дирака. Он предлагает исходить из гамильтоновой формы, которая «помогает отделить физически существенные динамические переменные от тех, которые лишь описывают координатную систему», и в которой основным понятием является понятие «состояние в данный момент времени». «В релятивистской теории под этим понимается состояние на некоторой трехмерной пространственноподобной поверхности общего вида в пространстве-времени», т. е. четырехмерие распадается на (3+1)-мерие без ограничения точности для уравнения движения. «Представляется вполне допустимым рассматривать гамильтонианов формализм как основной; тогда в теории не было бы никакой четырехмерной симметрии» [10]^[10].

Итак, в ОТО, как и в СТО, четырехмерное пространство-время выступает как математическое представление, в котором задается уравнение метрики пространства и времени, а в модельном слое мы имеем те же, что и в классической физике, модели двигающихся механических массивных тел и электромагнитного поля в обычных трехмерном пространстве и времени, но с другой метрикой (и с несколько иным уравнением движения), а следовательно, и движением, и другими процедурами измерения, приводящими к относительности длин, интервалов времени, одновременности. При этом в ОТО состояние выделенных изучаемых тел (или непрерывной среды и электромагнитного поля) задается, как в классической механике, — их положениями и импульсами в обычном трехмерном пространстве и обычном времени (то же можно сказать про механику сплошных сред и электродинамику)¹.

В заключение этого параграфа еще одно замечание философского плана. В физике XX в. возникает довольно интересная картина, характерная для теории относительности и квантовой механики: «парадигма» (в куновских понятиях — см. параграф 6.4), о которой говорит сообщество физиков, оказывается отличной от «парадигмы», которой физики следуют в своей работе. ВТО физики говорят о неразрывном пространстве-времени в духе Минковского, а на поверку описывают явления в обычном 3+1-мерном мире^[11][12]. В квантовой механике (см. гл. 15), говорят в духе «копенгагенской» интерпретации, а работают в другой, в которой состояние существует до и независимо от измерения, как и положено в физике.

• [1] «Одной из самых важных и плодотворных идей новой физики, основанной на теорииотносительности, является признание, что время и пространство неразрывно связаны междусобой и неразделимы в природных явлениях» [4, с. 222—2231 — утверждает Вернадский.
• [2] Точнее, «псевдоевклидово пространственно-временное многобразие», в котором четвертая временная координата принципиально отличается от трех пространственных тем, чтоона является мнимой величиной it, где i = (-1)½.
• [3] Точнее, «псевдоевклидово пространственно-временное многобразие», в котором четвертая временная координата принципиально отличается от трех пространственных тем, чтоона является мнимой величиной it, где i = (-1)½.
• [4] Точнее, «псевдоевклидово пространственно-временное многобразие», в котором четвертая временная координата принципиально отличается от трех пространственных тем, чтоона является мнимой величиной it, где i = (-1)½.
• [5] «В нем преобразования Лоренца можно представить как псевдовращения, электромагнитные потенциалы и плотности заряда есть векторы, но отношению к группе Лоренца, напряженность электромагнитного ноля представляет собой тензор второго ранга, а уравнения Максвелла — Лоренца приводятся в современной тензорной форме. В этой статьевпервые появились такие термины, как пространственноподобный вектор, времениподобныйвектор, световой конус и мировая линия» [21, с. 148].
• [6] 2 Сторонники ОТО утверждают, что существует по крайней мере 11 объектов, которыес очень большой достоверностью являются черными дырами [27], поскольку их поведение хорошо описывается в рамках модели пары звезд, одна из которых — «черная дыра», и не описывается в рамках других теоретических моделей. Более того, широко распространенным является утверждение, что центры нашей и многих других галактик являютсягигантскими черными дырами.
• [7] Пропорциональность (эквивалентность) между инерционной и гравитационной массами существует уже у Ньютона, она необходима для выполнения третьего закона Кеплера (его законы динамики и тяготения тесно связаны, так как он создавал законы динамикии закон тяготения совместно с целью построить теорию, из которой бы вытекали законыКеплера для движения планет).
• [8] Отметим, что этот ответ говорит о качественном отличии гравитации от силовых полейтипа электромагнитного, из чего следует, что логика квантования силового поля, развиваемая в КТП, на гравитацию автоматически распространять не следует.
• [9] 2 Таким образом, в формулировку задачи в ОТО, тем или иным образом, принципиальновстроена «классическая затравочная модель» — ход, который подробнее будет рассмотренв следующей главе.
• [10] Па часто встречающееся неверное толкование якобы вытекающего из ТО Эйнштейнаслияния пространства и времени указывал и Г. Рейхенбах [24, с. 1801.
• [11] Что касается многочисленных вариантов программы «геометризации» электромагнитного ноля и других типов взаимодействий [5], то аналогичный критический анализ показывает, что, будучи провозглашенными как физические, они реализованы как математические (в рассмотренном выше смысле). То же можно сказать и о программах увеличения числаразмерностей пространства и времени.
• [12] Эту ситуацию очень красиво фиксирует замечание крупного геоботаника и разностороннего ученого С. В. Мсйена: «Физики-теоретики … успешно оперируют единым пространством-временем. Все же и от них (можно услышать), что расширение Вселенной началось15—20 млрд лет назад… (То есть) говорили они не о каком-то едином пространстве-временив неведомых простому смертному единицах, а о привычном времени в годах» [19, с. 312].