Тест голдфелда-квандта. 
Эконометрика

При использовании этого теста предполагается, что возмущения являются нормально распределенными случайными величинами, отсутствует автокорреляция возмущений и средние квадратические отклонения возмущений <�т (?,) прямо пропорциональны значениям объясняющей переменной в этих же наблюдениях х_г Последнее условие часто встречается на практике и означает постоянство относительного разброса возмущений (а нс абсолютного, как предполагается в классической модели).

Тест состоит в следующем:

• 1. Все наблюдения упорядочиваются в порядке возрастания значения объясняющей переменной (одной из объясняющих переменных в случае множественной регрессии или объясняемой переменной).
• 2. Полученная упорядоченная выборка разбивается на три части: первая и последняя содержат по / наблюдений, средняя — т = п — 21 наблюдений. Далее рассматриваются только две части: / первых (с небольшими значениями объясняющей переменной) и / последних (с большими значениями объясняющей переменной) наблюдений, а т центральных наблюдений исключаются из рассмотрения.
• 3. Оцениваются отдельные регрессии для первой (/ первых наблюдений) и второй (/ последних наблюдений) частей. В этом случае гипотеза гомоскедастичности равносильна тому, что значения остатков для первых и последних наблюдений представляют выборку значений нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии. Таким образом, если предположение о пропорциональности дисперсий значениям объясняющей переменной (т. е. предположение о гетероскедастичности) верно, то дисперсия (сумма квадратов остатков) для первой части будет существенно меньше дисперсии (суммы квадратов остатков) для второй части наблюдений.
• 4. Для сравнения дисперсий строится статистика

5. Если гипотеза гомоскедастичности верна, то эта F -статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v_t =v₂ =1-к-1, где к — число объясняющих переменных. Для заданного уровня значимости по таблицам распределения Фишсра-Снсдскора определяется значение как критическая точка, соответствующая.

v_] = v₂ = / — к — 1 степеням свободы.

Тогда:

• 1. Если F>F_H1а6я, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется;
• 2. Если Fnulfa, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности нс отклоняется.

Для парной регрессии обычно предлагаются следующие размеры подвыборок: для п = 30 значение / = 11; для п = 60 значение I = 22. В общем случае обычно рекомендуется разбивать выборку на три равные части.

Тест Голдфелда-Квандта может использоваться и в случае предположения об обратной пропорциональности между дисперсией возмущений и значениями объясняющей переменной, при этом статистика F имеет вид.

В случае множественной регрессии данный тест может проводиться для каждой объясняющей переменной по отдельности — в каждом случае осуществляется упорядочение выборки по одной переменной, но регрессии для частей строятся с учетом всех переменных.

Кроме тестов Спирмена и Голдфелда-Квандта, разработаны и другие тесты для проверки гипотезы гетероскедастичности, такие, как тест Глейзера, тест Парка, тест Уайта и др. Эти тесты используют некоторые дополнительные предположения относительно характера гетероскедастичности. Так, при использовании теста Уайта предполагается, что дисперсии возмущений регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений факторов (чаще всего зависимость предполагается квадратичной, что соответствует тому, что средняя квадратическая ошибка регрессии приблизительно линейно зависит от наблюдаемых значений факторов). Тест Глейзера во многом аналогичен тесту Уайта, только в качестве зависимой переменной при изучении остатков рассматривается абсолютная величина остатков, причем в качестве функциональной зависимости используется зависимость вида е_{ =а + /3х. +и_г В критерии Парка также предполагается определенная форма зависимости дисперсии возмущений от значений объясняющей переменной. Недостатком этих методов является то, что факт невыявления ими гетероскедастичности нс означает се отсутствия: невозможность отклонения гипотезы гомоскедастичности означает в этом случае лишь отсутствие определенного вида зависимости дисперсии возмущений от значений факторов.

При установлении гетероскедастичности возникает необходимость ее устранения, для чего необходимо преобразование модели. На практике чаще всего значения дисперсий возмущений сг. не известны, поэтому, прежде всего, пытаются найти оценки <�т, этих дисперсий. После этого используется взвешенный метод наименьших квадратов, согласно которому для нахождения оценок коэффициентов регрессии минимизируется взвешенная сумма остатков:

Таким образом, достигается равномерность вклада остатков в общую сумму, что приводит к получению более эффективных оценок параметров модели.

Во многих случаях дисперсии возмущений зависят не от включенных в уравнение регрессии объясняющих переменных, а от тех, которые нс включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. В этом случае они должны быть включены в модель. В ряде случаев для устранения гстсросксдастичности необходимо изменить спецификацию модели (например, линейную форму зависимости на логлинейную, мультипликативную, аддитивную и т. п.).

На практике обнаружение и корректировка гстсросксдастичности представляет довольно серьезную проблему: имеет смысл попробовать несколько методов определения гетероскедастичности и ее корректировки.