Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Разложение вектора в ортогональном базисе

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора b в ортогональном базисе (1.26). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе: Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (1.26) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.с. коэффициент а, определяется по формуле. Умножим обе… Читать ещё >

Разложение вектора в ортогональном базисе (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:

Разложение вектора в ортогональном базисе.

Ортогональные базисы известны и хорошо представимы на плоскости и в пространстве (рис. 1.6). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой процедуре, без применения трудоемких вычислений, возникающих при решении систем линейных уравнений.

Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора b в ортогональном базисе (1.26). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Разложение вектора в ортогональном базисе.

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор ех. В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем.

Разложение вектора в ортогональном базисе.
Рис. 1.6.

Рис. 1.6.

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (1.26) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.с. коэффициент а, определяется по формуле

Разложение вектора в ортогональном базисе.

Умножая поочередно равенство (1.27) на другие базисные векторы, получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора Ъ

Разложение вектора в ортогональном базисе.

Нетрудно видеть, что все соотношения (1.28) имеют смысл, поскольку |е/1*0.

Отмстим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (1.26) имеют единичную длину (|^ | = 1) или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортонормированным, и координаты разложения (1.28) имеют наиболее простой вид:

Разложение вектора в ортогональном базисе.

Упражнения

  • 1.1. Найти линейную комбинацию векторов За + Ab-c, где, а = (4,1, 3, -2), Ь=( 1, 2, -2, 3), с = (10, 8,1, -3).
  • 1.2. Найти линейную комбинацию векторов:

Разложение вектора в ортогональном базисе.

где о, Ь, с — векторы, указанные в предыдущем упражнении.

  • 1.3. Для векторов д=(2, 4, -3, 0) и 6 = (-1, 2, 2, -5) найти ихдлину и угол между ними.
  • 1.4. Вычислить (<а-Ь)2, если а = 2>12, =4, угол между векторами ер = 135°.
  • 1.5. Найти координаты вектора а = (2, -4, 3, 5) в ортогональном базисе, состоящем из векторов:

ёх = (-2, 0, 0, 0), ё2 = (0, 3, 0, 0), ёг = (0, 0, 4, 0), ё4 = (0, 0, 0, -1).

  • 1.6. Доказать, что следующие векторы ортогональны:
    • а) 5 = (1,2,2,-3), *=(2,3,2,4);
    • б) * = (1,1,1,2), Ь = (1,2, 3,-3).
Показать весь текст
Заполнить форму текущей работой