Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства Rⁿ, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:

Ортогональные базисы известны и хорошо представимы на плоскости и в пространстве (рис. 1.6). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой процедуре, без применения трудоемких вычислений, возникающих при решении систем линейных уравнений.

Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора b в ортогональном базисе (1.26). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор е_х. В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем.

Рис. 1.6.

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (1.26) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.с. коэффициент а, определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (1.27) на другие базисные векторы, получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора Ъ

Нетрудно видеть, что все соотношения (1.28) имеют смысл, поскольку |е_/1*0.

Отмстим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (1.26) имеют единичную длину (|^ | = 1) или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортонормированным, и координаты разложения (1.28) имеют наиболее простой вид:

Упражнения

• 1.1. Найти линейную комбинацию векторов За + Ab-c, где, а = (4,1, 3, -2), Ь=( 1, 2, -2, 3), с = (10, 8,1, -3).
• 1.2. Найти линейную комбинацию векторов:

где о, Ь, с — векторы, указанные в предыдущем упражнении.

• 1.3. Для векторов д=(2, 4, -3, 0) и 6 = (-1, 2, 2, -5) найти ихдлину и угол между ними.
• 1.4. Вычислить (<а-Ь)², если а = 2>12, =4, угол между векторами ер = 135°.
• 1.5. Найти координаты вектора а = (2, -4, 3, 5) в ортогональном базисе, состоящем из векторов:

ё_х = (-2, 0, 0, 0), ё₂ = (0, 3, 0, 0), ё_г = (0, 0, 4, 0), ё₄ = (0, 0, 0, -1).

• 1.6. Доказать, что следующие векторы ортогональны:
  • а) 5 = (1,2,2,-3), *=(2,3,2,4);
  • б) * = (1,1,1,2), Ь = (1,2, 3,-3).