Канонические уравнения Гамильтона

Величины р_а, определяемые равенствами.

называются обобщенны.ии импульсами. Правые части этих равенств являются функциями от обобщенных координат, скоростей и может быть времени t. Разрешив равенства (14.55) относительно обобщенных скоростей, получим зависимости.

где т. е. обобщенные скорости можно рассматривать как функции от обобщенных импульсов, координат и времени.

зависящая от обобщенных импульсов, координат и времени и определяемая соотношением Функция.

называется функцией Гамильтона, или гамильтонианом. Более подробно соотношение (14.58) следует записать так:

В этом соотношении независимыми переменными являются р, q и t, а обобщенные скорости есть функции (14.56), определяемые равенствами (14.55).

Для механической системы со стационарными связями справедливо тождество (14.51). Используя это тождество и определение (14.55) обобщенных импульсов, соотношение (14.58) можно преобразовать к виду.

Таким образом, для системы со стационарными связями функция Гамильтона представляет собой полную энергию, выраженную через обобщенные импульсы и координаты.

Вычислим производную от функции Гамильтона (14.59) по обобщенному импульсу Ра:

Так как по определению.

будем иметь Найдем теперь производную от функции Гамильтона (14.59) по обобщенной координате q_Q:

Подстановка в это выражение обобщенного импульса (14.61) дает

При помощи определения (14.55) уравнению Лагранжа (14.46) можно придать вид.

Используя это уравнение, найдем, что.

Если известны гамильтониан (14.57) и обобщенные непотенциальные силы Q_a как функции обобщенных импульсов и координат, то равенства (14.62) и (14.63) следует рассматривать как систему из 2s уравнений для функций р_а = р_а(0 и q_a = д_а(0* описывающих движение системы:

Уравнения движения (14.64) называются каноническими уравнениями Гамильтона.