Задачи для самостоятельной работы

• 3.1. Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,6.
• 3.2. В партии деталей 10% нестандартных. Наудачу отобраны четыре детали. Построить ряд распределения и функцию распределения числа нестандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.
• 3.3. Охотник, имеющий пять патронов, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует всех патронов. Построить ряд распределения, функцию распределения и найти математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при любом выстреле равна 0,4.

• 3.4. СВ ^ принимает значения 1,2,3с вероятностями Написать выражение и построить график ФР СВ
• 3.5. В партии из шести деталей четыре стандартных. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди трех отобранных.
• 3.6. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадает. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,3, а для второго — 0,6.
• 3.7. Среди поступивших в ремонт 10 часов 6 шт. нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочередно и, найдя первые из таких часов, прекращает дальнейший просмотр. Найти математическое ожидание СВ — количества просмотренных часов.
• 3.8. Функция распределения СВ^{заданаформулой} /'(.v) = А + /iarctg.r,-cc А и В; б) плотность вероятности р (х); в) вероятность того, что СВ % попадает в отрезок [-1; 1].

3.9. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т; б) плотность вероятности; в) математическое ожидание времени безотказной работы.

3.10. Случайная величина % задана функцией распределения.

Найти: а) вероятность того, что СВ ?, примет значение не меньше 5; б) математическое ожидание и дисперсию СВ с,.

3.11. Случайная величина задана функцией распределения.

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний СВ с, ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

3.12. СВ Ь, принимает значения -1, 0 и 1 с вероятностями, соответственно равными 1 /4,½ и ¼. Написать выражение и построить график ФР СВ Найти функцию распределения СВ q и построить ее график.

• 3.14. При каком значении а функция f (x) = а/( 1 + .г²), оо <�х < оо, является плотностью вероятности случайной величины X?
• 3.15. Плотность непрерывной СВ Нравна

Найти функцию распределения и построить ее график.

3.16. Плотность распределения непрерывной СВ ?, равна р (х) = csin (2.r) в интервате вне этого интервала. Найти: а) постоянный параметр с; б) функцию распределения СВв) математическое ожидание и дисперсию СВ q.

3.17. Можно ли подобрать постоянную с так, чтобы функция сх~³ определяла плотность распределения вероятностей: а) на луче [1; +со); б) на луче [0; +оо).

3.18. Плотность распределения непрерывной СВ ?, в интервале равна.

вне этого интервала р (х) = 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях СВ ?, ровно два раза примет значение, заключенное в интервале (0; ?).

3.19. Задана плотность распределения СВ ?

Найти функцию распределения СВ? и ее среднее значение.

3.20. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной СВ X, заданной законом распределения.

• 3.21. Задан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: .Г] = -1, х₂ = 0, Л’з = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: MX = 0,1, MX² = 0,9. Найти вероятность р₁, р₂> Рз< соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х₃.
• 3.22. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий. Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в случайной выборке.
• 3.23. Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке [а; Ь, найти распределение площади круга, ее среднее значение и дисперсию.
• 3.24. Дискретная СВ X принимает три возможных значения: Xj = 4 с вероятностью р_{ = 0,5; х₂ = 6 с вероятностью р₂ = 0,3; х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃, зная, что М (Х) = 8.
• 3.25. СВ распределена по следующему закону:

Найти М (^⁴).

• 3.26. СВ ^ равномерно распределена на отрезке = 4, Dt; = 3. Найти плотность распределения СВ
• 3.27. Случайная величина X в интервале (0; 5) задана плотностью распределения f (x) = (2/25)х. Вне этого интервала f (x) = 0. Найти дисперсию X.
• 3.28. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ если f (x) = ½е~^ (распределение Лапласа).
• 3.29. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 40 билетов, причем вероятность выигрыша равна 0,05.
• 3.30. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной СВ^{соответственно} равны 20 и 5. Найти вероятность того, что СВ попадет в интервал (15; 25).
• 3.31. СВ ^ имеет стандартное нормальное распределение. Что больше: Р{-0,5 < ?, < -1} или Р{ 1 < § < 2}?
• 3.32. СВ? распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания СВ 4 в интервал (10; 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания СВ? в интервал (0; 10)?
• 3.33. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением т = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
• 3.34. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, и их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.
• 3.35. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика от проектного размера, но абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина диаметра шарика распределена нормально со средним отклонением а = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных.