Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Действие вибрационной нагрузки на систему с несколькими степенями свободы рассмотрим, как и в подпараграфе 15.2.2, на примере установившихся колебаний, т. е. изучим стационарный процесс, который наступает после затухания свободных колебаний.

Действующая динамическая нагрузка изменяется по гармоническому закону: F (t) = FsinG^; q (t) = <7sin0?; M (t) = MsinQt, и может быть приложена в любом месте расчетной схемы.

Усилия и перемещения, полученные в результате динамического расчета, также будут изменяться по этому закону, т. е.

где S и, А — амплитудные значения усилий и перемещений.

Следовательно, задачей динамического расчета является нахождение амплитудных значений усилий и перемещений. При необходимости определения усилий и перемещений в любой момент времени используется зависимость (15.43).

Рис. 15.22.

Ш Ш JM) ш и о Рассмотрим невесомую балку с п степенями свободы (рис. 15.22) и составим для нее выражение перемещений типа (15.35). Но в данном случае к правой части этих выражений добавятся еще перемещения, вызванные заданной динамической нагрузкой.

На основании принципа независимости действия сил, перемещение любой массы т_к можно представить как сумму перемещений.

Выражения (15.44) составляют для каждой массы расчетной схемы при k =, 2,…, п.

Входящие в выражение (15.44) инерционные силы определяются выражениями (15.36), а перемещения при установившихся колебаниях — выражениями.

где а_к, cij — амплитуды колебаний k-й иу'-й масс.

Дважды продифференцируем по времени выражения (15.45) и, подставив его в выражение для инерционных сил (15.36), получим В выражении (15.46) обозначение L = a-mfi² называют амплитудным значением инерционной силы. Зная это значение, можно определить амплитуду колебаний массы при вынужденных колебаниях:

С учетом (15.47), выразим перемещения масс k (k = 1,…, п) через инерционные силы:

Подставим выражения перемещений масс y (t) из (15.48) в левую часть уравнения (15.44), а выражения инерционных сил (15.46) — в правую:

Полученное выражение сократим на sin0? и приведем к каноническому виду, перенеся все члены в одну сторону:

и, введя обозначение.

получим Выражение (15.50) при & = 1, 2, п является системой алгебраических уравнений относительно амплитуд инерционных сил J_k.

Так как, в отличие от задач статики, при динамическом воздействии все перемещения и усилия в расчетной схеме зависят не только от внешней нагрузки, но и от сил инерции, то, определив амплитудные значения этих сил, на основании принципа независимости действия сил можем определить амплитудные значения искомых усилий:

где Sty (j = 1, 2, п) — усилия в заданной расчетной схеме от единичных сил, приложенных по направлению действия сил инерции; Д_kF — усилия от амплитудного действия внешней динамической нагрузки.

Методика определения динамических усилий и перемещений через амплитудное значение инерционной силы применяется и для систем с одной степенью свободы, когда направления возмущающих нагрузок не совпадают с направлением сосредоточенной массы, и динамический коэффициент определить нельзя.

Пример 15.10.

Требуется построить динамическую эпюру изгибающих моментов для консольной балки с двумя сосредоточенными массами, показанной на рис. 15.23, а, при действии возмущающей силы F (t) = 12Osin0? кН. Круговая частота возмущающей силы 0 = 0,7co_min (расчет на свободные колебания см. в примере 15.8).

Решение. 1. При sin0? = 1 на расчетную схему будут действовать амплитудные значения возмущающей силы F и инерционных сил J_{ и J₂ (рис. 15.23, 6).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчетной схемы с двумя степенями свободы имеет вид.

Рис. 15.23.

3. Из примера 15.8 минимальная частота свободных колебаний Тогда 0 = 0,70)! =0,1009у]Е1 / т с^-1.

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 15.8:

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений определяем, но формуле (15.49):

5. Так как направление возмущающей силы F (t) совпадает с направлением J₂ (см. рис. 15.23, б), эпюра изгибающих моментов M_F= М₂Т (рис. 15.23, в) и, соответственно, свободные члены канонических уравнений будут:

• 6. Подставив все найденные значения в систему канонических уравнений и сократив на общий множитель 1 / ?/, получим систему уравнений в численном виде:
  • -62,224/ + 13,5/;+ 1620 = 0,
• 13,5/- 40,112/₂ +1080 = 0,

решив которую, найдем/ = 34,387 кН,/₂ = 38,498 кН.

7. Динамическая эпюра, построенная на основании принципа независимости действия сил М_Д1Ш = М,/, + Л/₂/₂ + M_F, показана на рис. 15.23, г — е.

Пример 15.11.

Требуется построить динамическую эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой рамы с двумя сосредоточенными массами, показанной на рис. 15.24, а> при действии возмущающих нагрузок F (t) = 6sin0? кН и q (t) = 24sin0? кН/м. Круговая частота возмущающей силы 0 = 0,75a>_min (расчет на свободные колебания см. в примере 15.9).

Рис. 15.24.

Решение. 1. При sin0f = 1 на расчетную схему будут действовать амплитудные значения возмущающих нагрузок F, q и инерционных сил J_{ и J₂ (рис. 15.24, 6).

2. Система канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил для расчетной схемы с двумя степенями свободы имеет вид.

3. Из примера 15.9 минимальная частота свободных колебаний Тогда 0 = 0,7(0! =0,2935^?7/ т с^-1.

4. Значения податливостей по направлению колебаний обеих масс также были определены в примере 15.9:

т.

Главные коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений определим по формуле (15.49):

5. Произведем расчет грузового состояния от амплитуд возмущающих нагрузок (рис. 15.24, в). Основная система метода перемещений и эпюра Mj° от принудительного единичного поворота дополнительной связи показаны на рис. 15.20, в (см. пример 15.9). Эпюра грузового состояния в основной системе Мр приведена на рис. 15.24, в.

Каноническое уравнение метода перемещений.

r_nZ_{ + R_lF= 0, где г_и = 14,5/ кН-м/рад, R_XF = 42 кН м.

Тогда Zj= -R_lF / r_n = -42/14,5/ рад.

Эпюру грузового состояния получим на основании принципа независимости действия сил М_F = M^Z, + (рис. 15.24, с)).

6. Свободные члены канонических уравнений определим, используя вспомогательные состояния в статически определимых основных системах (см. рис. 15.21, в, г):

• 7. Подставив все найденные значения в систему канонических уравнений и сократив на общий множитель 1 / EI, получим систему уравнений в численном виде:
  • -5,499/_{ — 0,466/₂ + 49,38 = 0,
  • -ОДббД — 15,998/₂ — 19,551 = 0, решив которую, получим J_x = 9,109 к11, у₂ = -1,526 кН.
• 8. Динамическую эпюру построим на основании принципа независимости действия сил М_Д1Ш = М, У, + М₂у₂ + M_F (рис. 15.24, е — ж).

Пример 15.12.

Требуется построить динамическую эпюру изгибающих моментов для расчетной схемы с одной степенью свободы, показанной на рис. 15.25, а, если возмущающая сила F (t) = 6sin0f кН приложена вне направления колебания массы, а частота вынужденных колебаний 0 = 0,8со.

Решение. 1. При sin0?= 1 на расчетную схему будут действовать амплитудные значения возмущающей силы F и инерционной силы J_{ (рис. 15.25, 6).

2. Каноническое уравнение для определения амплитудного значения инерционной силы для расчетной схемы с одной степенью свободы будет иметь вид.

• 3. Заданная система статически определима. Построим эпюру М_х от единичной силы, приложенной по направлению колебания массы (рис. 15.25, в), и эпюру M_F от действия амплитуды возмущающей нагрузки (рис. 15.25, г).
• 4. Значения податливости по направлению колебания массы:

5. Определим частоту свободных колебаний:

Рис. 15.25.

[Ш

тогда частота вынужденных колебаний 0 = О, 8со = 0,11 926./— с^-1.

V т

6. Коэффициент при неизвестном канонического уравнения определим по формуле (15.49):

8. Свободный член канонического уравнения.

• 9. Подставив найденные значения в каноническое уравнение и сократив на общий множитель 1 / Е1_У получим уравнение в численном виде
• -25,312/, + 405 = 0, решив которое, получим/, = 16 кН.
• 7. Динамическую эпюру строим на основании принципа независимости действия сил М_дин = MJ_X + M_F (рис. 15.25, д).