Лекция 21 Однородные системы с постоянными коэффициентами

Модификация метода Эйлера для систем

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами.

Как мы уже выяснили, для построения общего решения нам необходима фундаментальная система решений набор из п функций, являющихся решениями системы. В принципе, ситуация аналогична той, которую мы обсуждали для уравнений, с единственной разницей там решениями были функции, а здесь вектор-функции, т. е. наборы из п функций.

Мы уже понимаем, что, по всей видимости, нам придется лишь модифицировать метод Эйлера для уравнений (напомним, что ключевой идеей этого метода был поиск решения в виде экспоненты е^А*). И главная проблема в модификации состоит в том, что нам теперь надо «из e^Af» сконструировать вектор-функцию. Как это сделать?

Первое, что приходит в голову, попытаться взять набор из разных экспонент:

Однако уже попытка подставить такое решение, например, в первое уравнение системы (21.1) приводит нас к малоутешительному результату:

Слова стоит одна экспонента, а справа целая комбинация экспонент с разными показателями. А поскольку любой набор экспонент линейно независим (ведь именно это мы доказывали, когда в прошлом семестре считали определитель Вронского для системы экспонент, и он оказывался определителем Вандермонда), эти экспоненты никак не могут взаимно поуничтожаться. Так что получается полная неудача. Все-таки для того, чтобы эти экспоненты друг с другом уничтожались, необходимо, чтобы показатель у них был одинаковый. А чем же тогда будут отличаться компоненты нашего решения? Ведь попятно, что совпадение всех компонент решения довольно редкий случай. Что-то должно быть различным. Но что?

Некоторое размышление приводит к новому варианту, менее очевидному, но, похоже, более перспективному: компоненты решения должны отличаться не показателем у экспоненты, а тем коэффициентом, на который эти экспоненты умножаются. Что это означает в формуле? Это означает, что решение мы будем искать в виде.

или. если вынести теперь экспоненту как обший множитель за вектор и обозначить получившийся вектор из коэффициентов (hi, /12, • • •, h_n) одной буквой h. в виде

Подставим (21.2) в (21.1). Получим что после сокращения на дает.

(мы для узнаваемости поменяли местами правую и левую части равенства). Что мы получили? Мы получили знакомое нам по курсу алгебры соотношение. Выведенное нами равенство означает, что h является собственным вектором, а Л собственным значением матрицы А. Таким образом, в результате наших поисков обнаружился следующий замечательный факт.

Лемма 21.1 Для mono, чтобы функция вида (21.2) была решением системы (21.1), необходимо и достаточно, чтобы h было собственным вектором., а А отвечающим ему собственным значением матрицы

А.

Спектральная теория¹ матриц дает нам исчерпывающее описание: собственных значений у любой матрицы размера п х п ровно п штук (если считать их с учетом кратности). Все они являются корнями алгебраического уравнения n-го порядка, которое обычно записывают в форме

Уравнение (21.3) обычно называют характеристическим уравнением² матрицы А и системы (21.1) (если речь идет о матрице, порождающей систему). В левой части этого уравнения оказывается многочлен п-й степени, который называют характеристическим многочленом. Совпадение терминологии со случаем уравнения n-го порядка оправдывается не только аналогией: если уравнение n-го порядка (с постоянными коэффициентами) свести к системе, то характеристический многочлен уравнения и характеристический многочлен системы просто совпадут.

В случае, когда все собственные значения простые каждому соответствует собственный вектор и набор этих собственных векторов образует базис. Тем самым действие матрицы на любой вектор из пространства IR¹¹, оказывается, «состоит» из трех операций: разложения этого вектора в сумму собственных векторов, умножения каждого слагаемого на «свой¹¹ множитель А; и обратного сложения умноженных векторов в один вектор.

'На всякий случай скажем, что теория, изучающая структуру спектра матрицы собственные значения и свойства собственных векторов называется спектральной теорией.

² На лом ним происхождение характерис тического уравнения: соотношение

переписывается в виде

а это обычная линейная система алгебраических уравнений. По известной теореме из алгебры либо определитель системы не равен нулю тогда система имеет единственное решение нулевое (которое нам. откровенно говоря, не нужно ни в алгебраических задачах, ни в дифференциальных уравнениях ведь о наличии у однородной системы нулевого решения можно догадаться и безо всякой науки, нам-то нужны именно нетривиальные решения), либо определитель матрицы равен нулю и тогда строки нашей линейной системы зависимы (т.е. но крайней мере одна является комбинацией остальных), а это значит, что по существу у нас уравнений меньше, чем переменных, это и позволяет подобрать нетривиальное решение. Так вот именно те А, при которых определитель матрицы А — XI оказывается нулевым, и являются теми самыми собственными значениями. Поэтому нам и приходится решать уравнение (let (71 — XI) = 0. Ну, а собственные вектора они, когда, А уже известны, определяются из той системы, которую мы уже написали: