Интегральные теоремы о среднем

При построении оценок значений определенных интегралов часто оказываются полезными следующие теоремы.

Первая теорема о среднем. Среднее значение функции

Теорема 2.1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции fug интегрируемы на отрезке [а, Ь], и пусть функция g (x) > 0 (< 0) для любого хе[а, Ь]. Тогда если М= sup /(х), т= inf f{x), то существует число ре[т, М], такое что ^а-^х-^ь

Если, кроме того, функция / непрерывна на [а, Ь], то существует точка ^€[а, Ь], такая что.

¹ Множество называется всюду плотным на отрезке, если в любой сколь угодно малой окрестности каждой точки отрезка содержится бесконечно много элементов этого множества.

Доказательство. Пусть сначала g>0 на [а, Ь]. Так как т< Дх)<�М для любого хе[а, Ь], то, умножив последнее неравенство на g (x), получим mg (x) < /(x)g (x) < Mg (x) Vxe[a, b], Поскольку произведение двух интегрируемых функций — интегрируемая функция и знак неравенства сохраняется при взятии интеграла (см. свойство 2 из параграфа 2.1), то.

Заметим, что в крайней левой и в крайней правой частях неравенства константу можно вынести за знак интеграла:

ь.

Если Jg (x)dx = 0, то из последнего неравенства вытекает, что.

а

b

J/(x)g (x)dx = 0, и соотношение справедливо для любого действитель;

а

Ъ

ного числа р. В противном случае Jg (x)dx>0 (функция g неотрица;

а

тельна на отрезке [a, b], значит, и интеграл от нее неотрицателен). Тогда можем поделить неравенство (2.3) на Jg (x)dx:

а

Равенство (2.1) (в случае неотрицательной функции g) доказано. Если g 0 на [a, b] и, по уже доказанному, существует число р е [т, М], такое что.

Но значит, формула (2.1) справедлива и в этом случае.

Соотношение (2.2) сразу следует из формулы (2.1) и из теоремы о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Теорема полностью доказана.

Следствие. Пусть функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], М = sup /00, т = inf /(х). Тогда существует число р е [m, M], такое что.

а<�х<�Ь ^aixib

Если, кроме того, функция/непрерывна на [а,?>, то существует точка? из отрезка [а, Ь], такая что.

Доказательство. Достаточно положить в формулах (2.1) и (2.2).

gM = 1.

1 ^h

Число М[/] =-f/(x)dx называется средним значением (интегри;

Ъ-а_а

руемой) функции/на промежутке [а, Ь].

Рассмотрим некоторые свойства среднего значения функции.

1. Если функция / непрерывна на [а, Ь], то найдется такая точка^е (а, Ь), что М [/] = /(?).

2. Среднее значение функции удовлетворяет условию гдет= inf /(х), М = sup /(х).

a

3. Пусть /бС[0, + °°) и существует конечный предел lim f (x) = A.

л X X—>+°°.

Тогда существует предел lim — f f (x)dx и он равен А.

х-«+~ X Q.

Доказательство. 1. Пусть lim f (x) = A±0. Для определенности.

JC—"+ X

будем считать, что А>0. Покажем, что J/(t)dt—при х—м-°о.

о В самом деле, поскольку lim /(х) = А, то по определению предела функ;

X—>+оо ции это означает, что Ve>0 38(e)>0: Vx>8 выполняется неравенство |/(х)-Д|<�е, т. е. Л-е</(х)< А + е. Тогда при достаточно больших х имеем.

Первый из интегралов есть некоторое число, а для второго имеем оценку

Таким образом, J/(x)dx — бесконечно большая функция при х —> +°. о.

(c)О ^.

Тогда имеем неопределенность вида —, для раскрытия которой восполь;

оо зуемся правилом Лопиталя:

• 1 ^х
• 2. Пусть теперь lim /(х) = 0. Покажем, что lim — f/(t)dt = 0. Рас-

Х~>+~ X Q.

смотрим функцию g (x)s/(x) + l. Так как, по условию, lim /(х) = 0, то Х-Н-оо 1 *.

lim g (x) = l. Следовательно, по доказанному имеем lim —Jg (t)dt = l.

X->+ X Q.

Но тогда.

что и требовалось доказать.

и для всякого отрезка [с, d], a то /(х) = Х на [а, Ь].

Доказательство (от противного). Предположим, что существует точка x₀e[a, b], такая что f (x₀)*. Пусть, для определенности, f (x₀)>. Тогда в силу непрерывности функции/найдется отрезок [с, d]

• 1 ^d
• (х₀ е[с, d]c[a, bl), на котором />Х. Отсюда ——f/(x)dx>X, что про-

d-c _с

тиворечит условию. Следовательно, предположение неверно и утверждение доказано.

5. Непрерывная функция / положительна на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда существует такое число X > 0, что для всякого отрезка [c, d], a выполняется неравенство

что и требовалось доказать.

• 1 ^d
• 4. Если функция / непрерывна на отрезке fa, i>] и-J/(x)dx = A.

d~c с

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть /(х)>0, хе[а, Ь]. Тогда в силу непрерывности/на любом отрезке [с, d]

Остается положить Х = т.

2. Достаточность (от противного). Пусть существует Х>0, такое что для всякого отрезка [c, d], a выполняется неравенство

Предположим, что в некоторой точке х₀ е [а, Ъ] f (x₀)< 0. Тогда в силу непрерывности функции / для любого е>0 найдется отрезок [с,d], a на котором /<г. Положим г-Х/2. Тогда

d

что противоречит условию J/(x)dx>X (d-c).