Максимизация прибыли. 
Математика в экономике

Пусть Q — количество реализованного товара, R (Q) — функция дохода, С (Q) — функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенного товара задается формулой.

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Оба упомянутых предельных показателя определяются по аналогии с (10.33а), так что этот принцип можно записать в виде: R'(Q) = C'(Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (10.38) следует, что П^,(0 = О, откуда и получается основной принцип.

Пример 16. Пусть.

Тогда прибыль определяется формулой П (0) = -0³ + 360² -690−4000. Приравнивая производную функции прибыли нулю, получаем уравнение.

Корни этого уравнения 0, = 1, 0₂ = 23. Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при 0 = 23: П_тах = 1290.

Оптимизация налогообложения предприятий

Пусть t — налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с 0 единиц продукции составит Т = /0. В этом случае функция прибыли будет иметь вид:

Возникает вопрос: каким должен быть налог/, чтобы величина суммарного налога Т со всей продукции была наибольшей?

Рассмотрим этот вопрос на примере: пусть R (Q) = I60 — 0³, а С (0) = 0³ + 1. Тогда функция прибыли имеет вид:

Как и в предыдущей задаче, условие максимума прибыли ГГ (0) = 0; отсюда получаем значение 0, максимизирующего прибыль с учетом пока еще нс известного налога /:

Полученное значение объема продукции следует подставить в величину суммарного налога Т ив свою очередь найти условия, при которых величина Т будет максимальной. Итак,.

откуда получаем, что / = 8.

Отсюда следует, что 0_opt = 2, и при этом значении максимальная величина прибыли составит П_тач = 7. а оптимальный (с точки зрения налогового законодательства) сбор налога Т_{ор (} = 16.

Интересно сопоставить эти цифры со случаем отсутствия налогообложения. При / = 0 решение задачи на максимизацию прибыли дает следующие результаты: 0_{ор (} = 4, П_тах = 31. Следовательно, уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит к увеличению прибыли от ее реализации. Понятно, почему производители тратят массу усилий и средств на снижение ставки налога.