Множественная корреляция и регрессия. 
Эконометрический анализ при нарушении классических предположений

Лабораторная работа № 2.

«Множественная корреляция и регрессия. Эконометрический анализ при нарушении классических предположений».

Выполнила: Богуш Кристина 12 МДНД Цели:

• -освоить методы отбора экзогенных переменных и оценки качества полученного уравнения;
• -научиться использовать надстройку «Анализ данных» пакета MS Excel при построении и анализе моделей множественной регрессии;
• -изучить предпосылки метода наименьших квадратов (условия Гаусса-Маркова), научиться обнаруживать и устранять нарушение этих предпосылок.

Исходные данные:

множественный корреляция регрессия.

Ход работы.

• 1. Считая, что междурезультативным и факторными признаками имеет место линейная связь, найти линейное уравнение связи (регрессии), проверить значимость его коэффициентов.
• 2. Найти парные коэффициенты корреляции и составить корреляционную матрицу. По полученным данным сделать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми переменными. Проверить значимость коэффициентов корреляции и проанализировать полученные данные. Сделать вывод о наличии либо отсутствии мультиколлинеарности и при необходимости устранить мультиколлинеарность.
• 3. Найти линейное уравнение регрессии для преобразованной модели. Для полученной линейной модели определить коэффициенты эластичности. Сделать выводы.
• 4. Проверить адекватность модели по критерию Фишера и определить среднюю относительную ошибку аппроксимации. Уровень значимости б=0,1.

Решение:

Уравнение множественной линейной регрессии имеет следующий вид:

Y=b0 +b1x1+…+bkxk.

Оценка параметров b0, b1,b2,…, bkобычно осуществляется по методу наименьших квадратов:

min.

Для получения уравнения регрессии используем команды меню Сервис-Анализ данных-Регрессия. Укажем исходные эндогенные и экзогенные переменные, а также заданный уровень значимости. Получим следующий результат.

Запишем уравнение регрессии:

y=26,472 121+0,478 851×1−0,379 969×2+0,2 595×3.

Найдем коэффициенты корреляции с помощью функции КОРРЕЛ и составим корреляционную матрицу. Коэффициенты ryx1=0,953 910 484, ryx2=-0,466 628 029, ryx3=0,943 286 416 показывают связь между результативным признаком у и факторами х1, х2, х3 соответственно; коэффициенты rx1x2=-0,277 483 687, rx1x3=0,962 893 243, rx2x3=0,962 045 218показывают связь между факторными признаками.

Так как rx1x2=-0,277 483 687<0,8 и rx2x3=0,9 620 452 180,8, поэтому связь между факторами х1 и х3 достаточно сильная, имеет место мультиколлинеарность. Для устранения мультиколлинеарности применим метод исключения факторов.

Проверим значимость коэффициентов регресси по критерию Стьюдента. Значения t-статистики (фактические значения) для показателей х1 и х3 равны соответственно.

Наименьшее значение t-статистики у фактора х3. Исключим фактор х3 из рассмотрения и будем искать зависимость между факторами у и х1, х2.

Значимость коэффициентов корреляции проверяется по критерию Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу H0: коэффициент корреляции равен нулю; конкурирующая гипотеза H1: r?0.Если расчетное значение tрасч. Выше табличного, то можно сделать вывод, что величина коэффициента корреляции является значимой, следовательно, нулевая гипотеза отвергается.

При уровне значимости б=0,1 и с учетом того, что в задании количество степеней свободы равно: y=n-k-1=10−1-1=8, получим табличное значение критерия (функция СТЬЮДРАСПОБР). Вычислим фкактическое значение:

tyx1=.

Поскольку фактическое значение критерия в первых двух случаях выше табличного, то связь между результативными факторными показателями x1и x2 является надежной, а величина коэффициентов корреляции — значимой. Про фактор х3 можно сказать, что коэффициент корреляции значимым не является.

Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид (после исключения фактора х3):

Связь между оставшимися факторами достаточно слабая (rx1x2=-0,277 483 687<0,8).

Расчет коэффициента множественной корреляции производится на основе значений коэффициентов парной корреляции:

R=.

Где detK-определитель корреляционной матрицы;К11 -алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы К.

Найдем коэффициент множественной корреляции по формуле:

R=0,978 599 146.

Коэффициент детерминации D=0,957 656 288. Это значит, что изменение рентабельности на 95,8% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 4,2% изменения результативного показателя. После исключения фактора коэффициент детерминации уменьшился несущественно. Значит, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы.

Найдем уравнение регрессии для преобразованной модели.

Проверим значимость коэффициентов нового уравнения регрессии по критерию Стьюдента. Значения t-статистики для показателей х1 и х2 равны соответственно 10,600 и -2,596, tтабл.=1,859, следовательно, коэффициенты нового уравнения регрессии являются значимыми, а мультиколлинеарность устранена.

Запишем уравнение регрессии:

Определение уравнения линейной регрессии осуществляется также с помощью функции ЛИНЕЙН категории Статистические. Для записи результат нужно выделить область размером 5х (к+1), где к-число переменных, а затем вызвать функцию ЛИНЕЙН. В диалоговом окне требуется задать следующие аргументы: интервал значений Yi; блок значений Xi; константу; статистику. В полях Константа и Статистика следует задать значение Истина. Задав аргументы, необходимо нажать Ctrl+Shift+Enter. Вывод результата осуществляется в следующем формате:

…
…
…	;	;
…	;	;
…	;	;

Fрасч.=.

Используется для проверки значимости множественного коэффициента регрессии.

Проверим правильность полученных результатов, используя функцию ЛИНЕЙН:

Уравнение регрессии и коэффициент детерминации совпадают с полученными ранее.

Коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле:

Эi=.

И показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%.

Так, для переменной х1 коэффициент равен 0,7275, а для переменной х2 -0,4101.

Согласно полученным данным, рентабельность возрастает на 0,7275% при увеличении производительности труда на 1%; на 0,4101- при увеличении продолжительности оборота оборотных средств на 1%.

Критерий Фишера. Значимость построенной модели проверяется следующим образом. Выдвигаем гипотезу H0: модель незначима. Конкурирующая гипотеза H1: модель значима. Гипотеза проверяется по критерию Фишера. Фактическая величина Fрасч сопоставляется с табличной и делается заключение о надежности связи. Если Fрасч? Fтабл при заданном уровне значимости б, то линейную модель можно считать адекватной.

Fрасч=72,792 Fтабл=3,113.

Так как Fрасч? Fтабл, то построенную модель можно считать адекватной.

Для статистической оценки точности уравнения связи используется также средняя относительная ошибка аппроксимации:

Еотн=.

Чем меньше теоретическая линия регрессии отклоняется от фактической, тем меньше средняя относительная ошибка аппроксимации Еотн=1,82%.

Средняя ошибка мала, что также свидетельствует об адекватности модели.

Следовательно, данное уравнение можно использовать для практических целей: оценки результатов хозяйственной деятельности; расчета влияния факторов на прирост результативного показателя; подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя; планирования и прогнозирования его величины.