Характеристики потоков платежей

Выше были рассмотрены две основные характеристики потока платежей: наращенная сумма и современная стоимость. Бывают случаи, когда эти показателя известны, а неизвестна одна из характеристик потока, например годовая выплата, срок ренты или процентная ставка. Требуется эту характеристику определить.

Если неизвестна годовая выплата ренты, то для нахождения формулы для ее расчета приведенные выше соотношения для наращенной суммы и современной стоимости следует рассматривать как уравнения. При этом должны быть заданы все параметры ренты, кроме годовой выплаты. Для /9-срочной ренты с начислением процентов т раз в году формула для величины годовой выплаты вычисляется из соотношений (2.39) и (2.41):

где S и А — наращенная сумма и современная стоимость ренты соответственно;  — коэффициенты наращения и приведения ренты соответственно; р — количество выплат в году; т —количество начислений процентов в году; j — номинальная процентная ставка; п — срок ренты в годах.

Иногда возникает необходимость определить срок ренты при прочих известных параметрах. Срок ренты определяется из приведенных выше формул для наращенной суммы и современной стоимости. Рассмотрим постоянную ренту с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Для этой ренты наращенная сумма определяется формулой

Представим ее в виде.

Прологарифмировав правую и левую части этого равенства, получим.

Решив это уравнение относительно п, окончательно найдем.

При расчете по этой формуле срок получается, как правило, дробным, что противоречит определению ренты. Для устранения противоречия, например, количество периодов п • р округляется до целого числа п₀ • р. Затем уточняется значение разового платежа по формуле.

Пример 2.19. В фонд поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс. руб. Определите срок ренты.

Решение. Срок ренты находится по формуле.

Количество кварталов в полученном сроке составит п? р = = 6,197 • 4 = 24,788. Округляем полученное число до 25, т. е. количество лет ренты принимается равным п₀ = 6,25 лет. Величину ежеквартальной выплаты получим, подставив это число в формулу (13.9):

Аналогично находят формулу для срока ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году по ее современной стоимости. Эта формула имеет вид.

Формула для уточнения значения разового платежа.

Для других типов ренты срок находится аналогично.

Нахождение процентной ставки ренты остается важнейшей проблемой при анализе потоков платежей. Если известны все параметры ренты, кроме процентной ставки, то расчет процентной ставки можно рассматривать как определение доходности финансовой операции. Эта доходность вычисляется из соотношений для расчета наращенной суммы и современной стоимости по формулам, полученным выше, для различных типов рент. В отличие от определения годовой выплаты ренты или ее срока, выражение для расчета процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим уравнение для современной стоимости годовой ренты • Представим его в виде

Решить это нелинейное уравнение можно одним из цифровых методов на компьютере, например графическим методом в Excel. Для этого построим таблицу функции.

В ячейке А1 таблицы Excel набираем цифру, равную шагу таблицы функции. Чем мельче шаг, тем точнее решение. Пусть эта цифра будет равна 0,0001. В ячейке А2 набираем: = А1 + 0,0001. Утверждаем результат, нажав Enter или на зеленую галочку в строке формул. Ухватившись курсором за нижней правый угол ячейки А2, протягиваем результат вниз. В ячейке В1 набираем: , причем вместо.

а набираем А1. Утверждаем. Ухватившись курсором за нижней правый угол ячейки В1, протягиваем результат вниз до тех пор, пока функция не сменит знак. Значение аргумента, лежащее между двумя соседними значениями с разным знаком, будет искомой доходностью.

Пример 2.20. В накопительный фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 тыс. руб. в течение семи лет, причем на конец срока величина фонда составит 100 тыс. руб. Определите доходность инвестиций.

Решение. Исходным уравнением решения служит формула для наращенной суммы годовой ренты Представим это уравнение в виде Подставив сюда исходные данные примера, найдем.

Решив это нелинейное уравнение на компьютере, получили а = = 11,71%.

Аналогично проводится расчет процентной ставки и для других рент. Например, современная стоимость р-срочной ренты определяется формулой