Изоморфизмы и гомоморфизмы колец

Эти операции вводятся по аналогии с группами. Теперь требуется сохранение обеих операций. Если сеть кольцо R с операциями +, • и кольцо R' с операциями 0, 0, то гомоморфизмом называется отображение ip: R —> /?', сохраняющее обе операции:

Изоморфизм колец — это взаимно однозначный гомоморфизм. Так же, как и в случае групп, изоморфные кольца «одинаковы» с алгебраической точки зрения.

Совершенно без изменений доказывается теорема о том, что гомоморфный образ кольца есть кольцо. По первой операции всё повторяется дословно, ассоциативность умножения проверяется так же, как и ассоциативность сложения. Проверка дистрибутивности осуществляется прямым вычислением:

Идеалы

Группы можно факторизовать («делить») по нормальным подгруппам. Аналогичное действие в случае колец основано на понятии идеача.

Что такое идеал? Это подмножество кольца, которое по сложению является коммутативной подгруппой. Кроме того, идеал удовлетворяет очень сильному условию по умножению.

Если использовать образы из физики, то идеал это подмножество «с очень сильным потенциалом». Если взять произвольный элемент i, принадлежащий идеалу /, и умножить его на любой элемент кольца г € R, то произведение также должно принадлежать идеалу: г • i € / (свойство «втягивания»).

В частности, идеал / является кольцом относительно тех же операций, что и исходное кольцо R. Это пример подкольца, т. е. такого подмножества кольца, которое является подгруппой по сложению и замкнуто относительно операции умножения.

Умножение в кольце не обязательно коммутативно. Поэтому, как и в случае смежных классов по подгруппе, нужны два технических понятия: если умножение берется слева, то это левый идеал, а если справа, то — правый. Если выполняются оба условия (как всегда будет в коммутативном случае), говорят о двустороннем идеале или просто идеале.

Технически более удобно слегка иное определение идеала. При изучении теории групп была доказана простая теорема.

• 0 том, что подмножество группы является подгруппой тогда и только тогда, когда вместе с элементами а и b содержит элемент об"¹. Поэтому вместо условия, что I — подгруппа, можно использовать условие а-b € / (так представляется ab~¹ в аддитивной записи). Итак, подмножество / € R называется левым идеалом, если выполняются два следующих условия:
• 1) если a, b Е /, то а — b Е /;
• 2) если а? /, г € R, то га € I.

Аналогично определяются правые и двусторонние идеалы.

Оказывается, что идеалы в теории колец и в дальнейших теориях играют первостепенную роль. Для начала посмотрим на примеры идеалов.

Пример 2.13. Возьмем кольцо целых чисел Z. Выберем в нем фиксированный элемент п, и рассмотрим все его кратные, т. е. множество nZ = {гп г? Z}. Это множество — идеал, что легко проверить из определения.

Нетрудно также убедиться, что любой идеал в Z имеет вид nZ. Действительно, пусть / С Z — идеал. Если I = {0}, то.

1 = 0Z. В противном случае I содержит положительные числа (так как идеал подгруппа аддитивной группы Z). Пусть п

наименьшее положительное число, принадлежащее I. Докажем, что I = nZ. В силу определения идеала I D nZ. С другой стороны, если а принадлежит идеалу I, то остаток г от деления а на п принадлежит /, так как г = a — qn. Но тогда, если а не принадлежит идеалу nZ, то г ф 0 и г < п, что противоречит выбору п.

Это простое рассуждение будет обобщено ниже (см. теорему 2.27).

Пример 2.14. То же самое можно сделать и с многочленами: зафиксировать какой-нибудь многочлен <�р (х) и умножить его на всевозможные многочлены. Получим идеал y>(x)R[x] = = {Ф (, х)(р (х) I ф (х) е R[x}}.

Приведенные примеры легко обобщить. По элементу а € R коммутативного кольца R можно построить множество.

которое, как легко проверить, является идеалом. Этот идеал называется главным идеалом, порожденным элементом а. Если в кольце есть единица, то главный идеал можно записать в таком же виде, как в предыдущих примерах:

Главные идеалы можно определить иначе. Заметим, что пересечение идеалов также идеал. Поэтому для любого подмножества S кольца R можно определить наименьший идеал, содержащий 5, как пересечение всех идеалов, содержащих S. Этот идеал называется идеалом, порожденным мноо^сеством S (обозначается (5)). В общем случае главным идеалом, порожденным элементом а, можно назвать идеал, порожденный множеством {а}.

Кольца, в которых все идеалы, отличные от самого кольца, главные, называются кольцами главных идеалов. Примеры колец главных идеалов, обобщающие кольцо целых чисел, приводятся ниже в разделе 2.7.

Поскольку идеалы в теории колец играют роль, аналогичную роли нормальных подгрупп в теории групп, естественно проверить справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2.15. Ядро любого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом.

Доказательство. Пусть <�р: R —> R-2 — гомоморфизм колец, I = Кег<^ = {х | у>(х) = 0} — ядро этого гомоморфизма. Поскольку гомоморфизм колец является и гомоморфизмом их аддитивных групп, то I — подгруппа по сложению. Осталось проверить, что для любого г Е R и а Е I выполнено га € I, ar € I. Из свойств гомоморфизма следует, что <�р (га) = = <�р (г)<�р (а) = <�р (г) • 0 = 0. Аналогично ц>(аг) = 0. ?