Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:

Найдем математическое ожидание X:

Напишем закон распределения X²:

Найдем математическое ожидание X²:

Видим, что М (Х²) значительно больше М (Х). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X², соответствующее значению х= 100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от М (Х) к М (Х²) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы ве§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты.

личина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X², а тем более к величинам X³, X⁴ и т. д. позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X*:

В частности,

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D (X) = М (Х²) — [М (Х)]² можно записать так:

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения XМ (Х).

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х-М (Х)У:

В частности,.

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим.

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Замечав и е. Моменты, рассмотренные здесь, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими. Определения эмпирических моментов даны далее (см. гл. 17, § 2).