Условие Лежандра и неравенство Вейерштрасса

Итак, ранее было установлено, что на минимизирующей функции z" имеет место соотношение

или согласно (6.7) и (6.9).

и полная внутренняя энергия всего стержня.

Таким образом, выражение для интегрального функционала в принципе Гамильтона—Остроградского имеет вид:

Нахождение минимума этого функционала приводит нас к уравнению Эйлера—Лагранжа вида.

которое описывает колебания рассматриваемого стержня.

Интегрируя два последних члена (6.11) по частям, получим.

Далее, используя формулу Грина для первых членов справа, найдем с учетом условий на границе (6.6):

Тогда выражение для второй вариации (6.11) будет иметь окончательный вид:

Выражение (6.12) необходимо исследовать по аналогии с гем, как мы это делали в одномерном случае при получении условия Лежандра. Но здесь имеется техническая трудность, связанная с необходимостью строить пространственные вариации. Рассмотрим вариации, изображенные на рис. 6.2. Здесь 6z = 0 всюду, кроме обозначенной треугольной области с основанием а и высотой Ь+с.

Рис. 6.2. К построению условия Лежандра.

Разобьем рассматриваемый треугольник на три: AS, 5, и5₂. Пусть вариация искомой поверхности бz такова, что в каждом из этих треугольников вариации производных бр и бq постоянны, а сама б<: геометрически представляет собой поверхность, стороны которой образованы тремя плоскостями (т. е. геометрический образ bz есть трехгранная пирамида). Тогда для такого вида вариаций (бг, бр и б<�у) выражение б²/(6.12) можно записать следующим образом:

Как и ранее, выберем малое число ?, определяющее характерные параметры «основания» построенной таким образом вариации bz, и рассмотрим предел при с -* 0, полагая, что при этом величины а и с ~ ?, а b ~ с². Помня, что в AS вариации Ър и bq постоянны, считаем их малыми. В 5, и S₂ они постоянны в пределах каждой подобласти и в согласии с построением пропорциональны с. Теперь мы можем оценить интегралы в (6.13), вновь используя теорему о среднем интегрального исчисления:

Поскольку в пределах AS значение вариации bz ~ е², а сама площадь есть величина AS ~ е-е²/2, получаем.

Откуда в силу произвольности характера^[1] области AS и точки, относительно которой она выбрана, получаем необходимое условие Лежандра слабого минимума в пространственной задаче:

Для интегралов по .9, и S₂, учитывая, что бz ~?², а сама площадь S_t + S₂ ~ е • с/2, получаем соответственно для первого интеграла:

Для второго интеграла с учетом в этом случае Ьр и bq ~ с получим.

Таким образом, главная часть второй вариации (6.13) при е -* 0:

• [1] Здесь мы подразумеваем, что данная малая область, связанная схарактером вариации bz может быть в общем случае любой формы, например, это необязательно правильный треугольник, как это показанона рис. 6.2. Но это требует соответствующей перестройки проведенныхоценок с учетом вида малой области. Подробнее об этом — в разд. 7.