Универсальные нелинейные модели

Эффективность компьютерного схемотехнического моделирования (проектирования) достигается при использовании универсальных нелинейных моделей (УНМ), алгоритмы анализа которых в наименьшей мере зависят от структуры и порядка цепи, от вида и режима работы используемых элементов. Способ описания математической модели во многом зависит от базисных переменных. Переменные, позволяющие получить описание модели из линейно независимых уравнений, называются базисными переменными. Базисные переменные определяются в результате решения уравнений. Выбор базиса влияет на такие важные характеристики программы, как алгоритм формирования схемной модели, вид и размерность системы уравнений (а следовательно, скорость и точность расчета), типы допустимых в схеме зависимых источников i (u), i (i), и (и), u (i) и др. В работе [1] выделено четыре разновидности УНМ. Рассмотрим их особенности.

УНМ в базисе переменных состояния. Для этой модели в качестве независимых переменных используются напряжения на емкостях и токи в индуктивностях, называемые переменными состояния. Такую модель можно представить в виде линейного резистивного многополюсника (рис. 9.9.1, я), к зажимам которого подключены индуктивности и емкости, характеризующие переменные состояния (и_с> i_L), зависимые источники напряжения и тока (е₃, /₃), характеризующие нелинейные свойства схемы, а также независимые источники входных напряжений и токов (е_г, /',.).

Модели на рис. 9.9.1, а описываются системой дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши, и системой нелинейных алгебраических уравнений:

где х = [u_c, i_L]^T; u = [е_р i_r]^T; g (w) = [е₃, i₃]^T — векторы переменных состояния, внешних воздействий и зависимых источников, характеризующих нелинейные зависимости: w — вектор аргументов, от которых зависят е_э и i.,; Q, А, В, В', А_х, В₄, Bj — матрицы постоянных коэффициентов, т — знак транспонирования.

При формировании уравнений используется матрица инциденций и матрица сечений хорд графа.

К достоинству модели следует отнести:

• • наличие разработанных и давно используемых алгоритмов и программ формирования уравнений;
• • простоту решения дифференциальных уравнений явными методами численного интегрирования.

Недостатки:

• • трудности при описании цепей, имеющих топологические вырождения (контуры из источников напряжения и емкостей и звезды из индуктивностей и источников тока);
• • использование явных методов интегрирования создает проблемы выбора шага интегрирования при расчете цепей с большим разбросом постоянных времени; модель ориентирована на схемы замещения с дискретными R^A, L^A, С^А элементами, а не с распределенными параметрами;
• • зависимость объема вычислений от порядка и разветвленности линейной части исследуемой цепи.