Порядок нуля. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Если функция /(z) (/(г)ф 0), голоморфная в области G, равна нулю в то ке, а этой области, то разложение её для некоторой окрестности точки, а имеет вид:

так как с₀ = f (a) = 0.

Очевидно, все коэффициенты с_п разложения (28) не могут равняться нулю, так как в этом случае функция /(z), равная нулю всюду в некоторой окрестности точки а, была бы по теореме единственности (п. 4) тождественным нулём в области G. Сле ювательно, среди коэффициентов с_п(п = 1, 2, 3, …) имеются отличные от нуля;, обозначим через rn (m^ 1) наименьший номер таких коэффициентов.

Тогда имеем:

и, следовательно, разложение (28) принимает вид: где с_тфО.

В этом случае мы скажем, что точка а есть нуль порядка т для функции f (z). Вели т= 1, то нуль называют простым, при 1 —кратным.

Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда

Если степенной ряд

сходится в круге z<^R и изображает в нём функцию f (z), модуль которой всё время меньше М, то имеют место неравенства:

Эти неравенства (30) получаются немедленно, если воспользоваться интегральными формулами для коэффициентов степенного ряда (гл. V,. § 2, п. 1):

где интегрирование совершается по произвольной окружности j ?| = р- (р<^/?). Оценивая |с_я|, находим:

Так как последнее неравенство имеет место дня всех р, р<^/?, та путём перехода к пределу при р, стремящемся к R, находим окончательно: