Некоммутативность. Об ошибке Пуанкаре, которую он не успел исправить

Итак, мы имеем 2 подхода для объяснения световых явлений в рамках преобразования Лоренца.

Первый подход аналогичен рассмотренному ранее параметрическому преобразованию Галилея. Он опирается на классические пространственно-временные отношения. Пространство общее для инерциальных систем, а время для них едино. Искаженные отображения, описываемые преобразованием Лоренца, обусловлены относительным движением источника света и наблюдателя, а также конечной величиной скорости света.

Благодаря классическому характеру пространства и времени относительная скорость в преобразовании Лоренца определяется классическим правилом параллелограмма. В отличие от преобразования Галилея в преобразование Лоренца входит время. Этот вариант будет подробно рассмотрен ниже.

Второй подход строится иначе. С лёгкой руки Лоренца и Фитцджеральда, а позднее Пуанкаре и Эйнштейна, возникла гипотеза о том, что при относительном движении искажаются пространственно-временные отношения между двумя инерциальными системами отсчёта. Пуанкаре, как математик, обнаружил, что преобразования Лоренца образуют группу. Групповые свойства преобразования Лоренца требуют, например, для нахождения скорости относительного движения источника света и наблюдателя введения 4-вектора скорости наблюдателя и матрицы преобразования Лоренца, зависящей от 4-скорости источника света. Их произведение позволит определить 4-вектор относительного движения. Таким образом, первый (классический) подход, благодаря авторитету Пуанкаре, выпал из поля зрения исследователей.

Итак, чем впоследствии мог не устроить Пуанкаре некоммутативный характер группы преобразований Лоренца? Почему он позже усомнился в физической корректности второго варианта? Рассмотрим небольшой пример, который мог бы объяснить логику суждений А. Пуанкаре.

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта. Относительная скорость систем равна V. В движущейся штрихованной системе отсчёта 4-вектор есть [R'4], т. е. (x'; y'; z'; ict'). В неподвижной 4-вектор есть [R4], т. е. (x; y; z; ict).

Матрица преобразования L[V4] связывает 4-вектор обеих систем [R4] = [L (V)] [R'4]. Мы можем пересчитать 4-координаты движущейся (штрихованной) системы в 4-координаты неподвижной системы.

Для обратного перехода существует матрица обратного преобразования [L (V)]-1 = [L (-V)], т. е. должно иметь равенство [L (V)] [L (V)]-1 = [L (V)] [L (-V)] = [E], где [E] - единичная диагональная матрица.

На первый взгляд, кажется, что здесь нет проблем. Опираясь на этот подход, как утверждают, Пуанкаре получил формулы для прямого и обратного преобразования до Эйнштейна. Проверим, всегда ли это имеет место.

Обратимся к рис. 7. На нём изображена движущаяся со скоростью V материальная точка. Наблюдатель её видит под углом наблюдения И.

Рис. 7. Радиальная и нормальная компоненты скорости

Вектор скорости движущейся точки можно разложить на две составляющие. Одна направлена к наблюдателю, а вторая составляющая имеет перпендикулярное к ней направление.

Преобразование Лоренца будет равно произведению двух матриц преобразования, каждая из которых зависит только от одной составляющей скорости. В зависимости от того, какую из матриц [L (VR)] или [L (VT)] мы поставим первой, мы получим две разных матрицы перехода из одной инерциальной системы отсчёта в другую:

[L1(V)] = [L (VR)] [L (VT)] и (3.1).

[L2(V)] = [L (VT)] [L (VR)] (3.2).

Матрицы [L1(V)] и [L2(V)] различны. Конечно, мы можем выбрать и постулировать любой из вариантов, например, первый вариант, т. е. [L1(V)] = [L (VR)] [L (VT)].

Имеем.

[R4] = [L1(V)] [R'4] = [L (VR)] [L (VT)] [R'4] (3.3).

Теперь попробуем вернуть 4-вектор [R4] в штрихованную (движущуюся) систему отсчёта, используя матрицу обратного преобразования:

[L1(V)]-1 = [L (VR)] -1 [L (VT)] -1 = [L (-VR)] [L (-VT)] (3.4).

Получим, используя (3.3) и (3.4),.

[R" 4] = [L1(V)]-1 [R4] = [L (-VR)] [L (-VT)] [R4] =.

= [L (-VR)] [L (-VT)] [L (VR)] [L (VT)] [R'4] (3.5).

Очевидно, что 4-вектор [R'4] отличается от 4-вектора [R" 4]. Мы «заблудились», т. е. мы вернулись, но попали в другую инерциальную систему. Таких парадоксов в СТО при использовании матриц преобразования Лоренца встречается много, но их практически не обсуждают («запреты на критику»).

Это, возможно, дало повод Пуанкаре усомниться в полезности для физики групповых свойств преобразования Лоренца.