Многофакторный дисперсионный анализ

Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее компьютерного использования) несомненно, более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие.

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.

Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются ли существенные различия в качестве изделий по каждому фактору:

А — партия изделий;

B — станок.

В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.

Все данные представлены в таблице 2, в которой по строкам — уровни Ai фактора А, по столбцам — уровни Bj фактора В, а в соответствующих ячейках, таблицы находятся значения показателя качества изделий xijk (i=1,2,…, m; j=1,2,…, l; k=1,2,…, n).

Таблица 2 — Показатели качества изделий

Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:

xijk=м+Fi+Gj+Iij+еijk,.

где xijk — значение наблюдения в ячейке ij с номером k; м — общая средняя; Fi — эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А; Gj — эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В; Iij — эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т. е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (15); еijk — возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.

Предполагается, что еijk имеет нормальный закон распределения N (0; с2), а все математические ожидания F*, G*, Ii*, I*j равны нулю.

Групповые средние находятся по формулам:

— в ячейке:

.

по строке:

по столбцу:

общая средняя:

В таблице 3 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

Таблица 3 — Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии.	Сумма квадратов.	Число степеней свободы.	Средние квадраты.
Межгрупповая (фактор А).	m-1.
Межгрупповая (фактор B).	l-1.
Взаимодействие.	(m-1)(l-1).
Остаточная.	mln — ml.
Общая.	mln — 1.

Проверка нулевых гипотез HA, HB, HAB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений, , (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений, , (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F — критерия Фишера-Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями — как в модели I.

Если n=1, т. е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены, так как выпадает компонента Q3 из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат, так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q1, Q2, Q3, Q4, Q целесообразнее использовать формулы:

Q3 = Q — Q1 — Q2 — Q4.

Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при неравном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется планировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учитывать при подсчете числа степеней свободы.

дисперсионный количественный однофакторный.