Распределение Пуассона. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события Л равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (/; < 0,1). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр=X. Как будет следовать из дальнейшего (см. гл. 7, § 5), это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Так как пр = X, то р = Х/п. Следовательно,.

Приняв во внимание, что п имеет очень большое значение, вместо P"(k) найдем lim P_n(k). При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: п хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим п к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение пр сохраняет постоянное значение, то при я —> (c)о вероятность р —>0.

Итак,.

Таким образом (для простоты записи знак приближенного равенства опущен),.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (/; мало) событий.

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти P"(k), зная к и Я.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Р е ш е н и е. По условию, п = 5000; р = 0,0002; k = 3. Найдем Я:

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна