Общая задача Лагранжа и задачи Лагранжа—Больна и Майера

Здесь мы рассмотрим постановку так называемой общей^[1] задачи Лагранжа, а также задачи Лагранжа—Больца и Майера, но прежде коснемся следующего важного вопроса. До этого момента мы рассматривали только интегральные функционалы. Но функционал может зависеть в каком-либо виде и от концевых значений абсцисс и ординат^[2], т. е. иметь вид: где функция ga, b, у (а), y (Z>)] носит название терминальной, а интеграл называют интегральной частью функционала.

Когда в функционале (3.19) присутствует только терминальная часть, а интегральная отсутствует, получаем такой вид функционала:

Этот случай является весьма важным практически. Например, можно рассматривать задачи, где в качестве функционала выступает минимальное время выполнения какого-либо процесса или наоборот, чтобы какая-то система смогла проработать как можно дольше, т. е. максимальное время. Но очевидно, что подобные классы задач требуют, чтобы допустимые кривые удовлетворяли некоторым условиям, описывающим эти процессы. Если в предыдущем разделе мы рассматривали в качестве таких условий уравнения Bnaag (x, y_v у₂, у_п) = 0, то здесь рассмотрим уже связи-соотношения более общего вида — связи, содержащие производные:

Итак, пусть имеется функционал.

где допустимые функции удовлетворяют концевым условиям вида.

а также следующим дифференциальным уравнениям-связям:

Сегодня в большинстве случаев условия (3.22) заменяют условиями более общего вида, включающими в себя и условия подвижности концов:

т. е. 2п условий для функций у.(х) и 2 условия для концевых точек а и Ь.

В рассматриваемом классе задач исторически первой была сформулирована задача Лагранжа, которую сегодня принято называть общей задачей Лагранжа (1788 г.).

Классическая формулировка общей задачи Лагранжа такова: найти экстремум функционала:

на множестве непрерывных функций у₍.(х) (/ = 1,2,п), имеющих кусочно-непрерывные производные у (х), удовлетворяющих концевым условиям:

и системе дифференциальных уравнений: gi (x, у_и у₂, у_п, у{, у'₂, у;,) = 0, i =, 2., m (т<�п). (3.27).

В изучении общей задачи Лагранжа значительная роль принадлежит О. Вольцу (1857—1942), который рассматривал функционал с терминальным членом (3.21). Задачей Лагранжа—Больца называют задачу о поиске экстремума функционала:

где допустимые функции yfx) (/' = 1, 2,…, п) непрерывны, имеют кусочно-непрерывные производные у'(х), удовлетворяют концевым условиям вида.

а также дифференциальным уравнениям-связям:

И, наконец, задачей Майера называют вариационную задачу Лагранжа—Больца, в которой функционал содержит только терминальный член:

Видим, что функционал / совпадает с исходным J при любом выборе множителей Лагранжа Х_г Эта универсальность выбора множителей Лагранжа важна, так как позволяет строить на ее основе различные подходы к решению задач и численные методы в вариационном исчислении.

Проблема доказательства справедливости метода множителей Лагранжа в данном случае сложнее, чем в изопериметрической задаче и в простейшей задаче Лагранжа. Для упрощения выкладок рассмотрим ее в наиболее простом случае, когда п = 2, ат= 1.

Итак, пусть требуется найти экстремум функционала.

и дифференциальному уравнению.

Рассмотрим подход к решению приведенных задач на примере наиболее общей задачи Лагранжа—Больна.

Введем неопределенные функциональные множители Х (х), i = 1, 2,п. Исходя из условий (3.23) и (3.24) построим функционал /, который назовем вспомогательным:

на множестве непрерывных функцийу (х) и z (x), имеющих кусочнонепрерывные производные у'(х) и z'(x), удовлетворяющих концевым условиям.

к которому также имеются условия на искомые функции у (х) и г (х) на одном из концов, например на левом.

Таким образом, в совокупности с условиями (3.31) мы имеем шесть условий (четыре условия (3.31) и два условия для у и z на одном из концов промежутка).

Пусть функции.

являются допустимыми и дают искомый экстремум. Тогда на любой допустимой системе вариаций бу и 6z.

При этом в силу (3.32) вариации связаны соотношением.

Умножая уравнение (3.34) на неопределенный множитель (х), прибавим его к (3.33) и соберем коэффициенты при вариациях:

Интегрируя по частям два последних члена и учитывая условия на границах (3.31), получим.

или, введя обозначение F=f + Xg,

Но из соотношения (3.35) нельзя записать уравнения ЭйлераЛагранжа для нахождения функций y (x) и г (х), поскольку вариации бу и бг не свободны, а связаны уравнением (3.34). Обойти эту проблему позволяет следующий способ.

Поскольку мы свободны в выборе множителя Лагранжа Х (х), то будем выбирать его, например, приравнивая нулю первое слагаемое в (3.35), т. е. приняв Тогда (3.35) принимает вид:

где вариация 6z уже свободна, и для определения г (х) мы получаем соответствующее уравнение Эйлера—Лагранжа:

Таким образом, мы получаем систему уравнений (3.36), (3.37), которая вместе с уравнением (3.32) позволяет определить неизвестные функции: у (х), z (x) и Х (х). При этом краевыми условиями к этим уравнениям служат условия (3.31) в совокупности с условиями для уравнения (3.32).

В общем случае функционала, зависящего от п функций:

удовлетворяющих концевым условиям:

а также дифференциальным уравнениям-связям:

к которым добавляются т условий на концах, поступают совершенно аналогично предыдущему. Однако здесь имеется дополнительная трудность, принципиально приводящая к тому, что из всего множества допустимых функций у_:(х) (/ = 1,2,.п) требуется выдел ить те т функций, которые определяются уравнениями (3.40), для чего необходима разрешимость уравнений (3.40) относительно у!:

Но такая разрешимость требует, чтобы функциональный определитель исходной системы уравнений (3.40) был отличен от нуля:

Если последнее условие выполнено, то оставшиеся допустимые функции у_:(х) (/ =т + 1, т + 2,…, п) свободны (в рамках выполнения концевых условий (3.39)) и их вариации произвольны. Далее, аналогично (3.34), варьируем уравнения связей:

и, также как и ранее, введя множители Лагранжа (х) (/ = 1,2,…, т) и интегрируя вторые слагаемые по частям, с учетом краевых условий получим.

Теперь, как и ранее, строим первую вариацию исходного функционала (3.38) и приравниваем ее к нулю:

Добавляя все члены (3.43) к (3.44), получим.

Построив расширенную функцию.

и разделив связанные уравнениями (3.40) т функцийy_t{x) (/ = 1, 2, т) и свободные функции у^х) (/' = /?? + I, т + 2,п), приведем в итоге первую вариацию к виду.

Так же как и ранее, выберем множители Лагранжа (х) (/ = 1, 2,т) исходя из условий.

а для остальных, нс связанных соотношениями (3.40) п—т функций, функций уДх) (j=m + 1, т + 2,…, п), выписываем систему уравнений Эйлера—Лагранжа:

Добавляя к системе из п уравнений (3.45), (3.46) т дифференциальных уравнений связи (3.40), вновь получим п + т уравнений для нахождения п + т функций у,(х) и Х^х). Краевыми условиями для полученной системы дифференциальных уравнений служат условия в концевых точках (3.39) и условия для уравнений (3.40), на основе которых получаем и краевые условия для множителей Лагранжа.

Таким образом, можно сформулировать теорему.

Теорема 3.3. Если решение вариационной задачи (3.38)—(3.40) существует и если один из главных определителей функциональной матрицы.

отличен от нуля при всех значенияхх е [а, Ь, то решение вариационной задачи удовлетворяет системе из п + т дифференциальных уравнений:

т.

где F = f + '^__i'kxр; Х_у.(х) — некоторые функции, зависящие отх, j=I.

которые называют множителями Лагранжа.

Замечание 3.5. На задачу Лагранжа переносятся все полученные в разд. 1 и 2 необходимые условия (условия Лежандра и Вейсрштрасса), а также условия трансверсальности и Эрдмана—Вейершграсса. Вместе с тем наличие дифференциальных уравненийсвязей для допустимых кривых требует внимательного анализа решения вариационной задачи, поскольку условия Лежандра и Вейерштрасса требуют поточечного выполнения, так же как и решения дифференциальных уравнений-связей.

Замечание 3.6. Обратимся к задачам Лагранжа—Вольца и Майера. Напомним, что первая отличается от задачи Лагранжа наличием в функционале (3.21) терминального члена, а вторая, отвечающая функционалу (3.28), — отсутствием интегрального члена. Но тогда нетрудно прийти к выводу, что отличие задач Лагранжа—Вольца и Майера состоит в форме системы необходимых условий экстремума, а именно в особенности записи концевых условий, т. е. условий трансверсальности, где должны фигурировать результаты варьирования терминальных функций:

Отсюда видно, что на задачи Лагранжа—Больца и Майера, аналогично задаче Лагранжа, переносятся все полученные в разд. 1 и 2 необходимые условия (условия Лежандра и Вейерштрасса), а также условия трансверсальности и Эрдмана—Вейерштрасса.

Рассмотрим пример решения вариационной задачи с дифференциальными связями. Выберем характерную задачу воздухоплавания, поставленную и решенную в первой четверти XX в., когда скорости самолетов были сравнимы со скоростью ветра.

Пример 3.2 (задача Чаплыгина). Определить такую замкнутую траекторию, по которой должен лететь самолет с постоянной скоростью Vи при наличии постоянного ветра так, чтобы за заданное время полета Тоблететь наибольшую площадь.

Предположим, что ветер дует со скоростью и в направлении оси х. Пусть текущий угол между осью х и направлением полета a, x (t) и у (0 — координаты положения самолета в момент времени t (рис. 3.1). Тогда для компонент скорости.

Эти соотношения и являются дифференциальными уравнениями-связями. Заметим, что искомых функций — три: x (t), y (t) и a (t). Функционал в нашей задаче есть площадь замкнутой траектории, по которой летит самолет. Можно показать, что эта площадь выражается следующим интегралом:

Введем множители Лагранжа X, (/) и X₂(t) и построим расширенный функционал:

Уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид:

Из двух последних уравнений следует.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 3.1. К решению задачи Чаплыгина.

где С, и С₂ — постоянные интегрирования, определяемые положением траектории относительно начала координат.

Эти постоянные можно выбрать равными нулю, что равносильно параллельному переносу начала координат. В таком случае последние уравнения приобретают вид:

Для описания вида траектории удобно перейти к полярным координатам (г, ф), где.

Поскольку получаем такую связь, а и ф:

откуда следует, что направление полета самолета ортогонально радиусу-вектору его положения.

Возвращаясь к исходным уравнениям движения самолета и переходя к полярному углу ф, найдем Используя исходные уравнения движения, можем написать:

Но последнее уравнение есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат, причем в силу того, что величина |н|/|И| < 1, это отвечает значению скорости самолета, большей скорости ветра; мы получаем уравнение эллипса с эксцентриситетом | и |/| И | и большой осью, напрашенной по оси у (см. рис. 3.1).

• [1] Общей рассматриваемую здесь задачу Лагранжа называют, поскольку исторически она содержит наиболее широкий класс ограничений-связей в форме дифференциальных уравнений.
• [2] Конечно, в задачах с подвижными границами, когда значения абсцисс и ординат концевых точек разыскиваются на основе условийтрансверсадьности, также имеется зависимость значения функционалаот концевых точек. Здесь же мы имеем в виду тот случай, когда такая зависимость явно содержится в форме терминального члена в функционале. При этом, как мы увидим далее, появление терминального члена приводит и к изменению структуры условий трансверсальности.