Колебания систем с несколькими степенями свободы

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• • ортогональность главных форм колебаний;
• • возможное возникновение резонанса при совпадении частоты вынужденных колебаний с любой из частот свободных колебаний;

уметь

• • определять частоты свободных колебаний конструкций;
• • определять амплитудно-частотные характеристики системы с двумя степенями свободы;

владеть

• • навыками работы с вычислительными комплексами;
• • навыками решения проблем, возникающих при расчете сложных систем с использованием ЭВМ.

Прямая и обратная формы записи дифференциальных уравнений колебания систем с конечным числом степеней свободы.

Запись уравнений продемонстрируем на примере анализа балки, массу которой сосредоточим в отдельных сечениях. Упругие свойства балки представим в виде пружин, прикрепляющих массы к основанию. На балку действует обобщенная сила, являющаяся функцией времени (рис. 2.1). Жесткость пружины с_к подчиним следующему закону:

Расчет представленной системы можно выполнить либо методом перемещений, либо методом сил.

Решение методом перемещений. Основную систему выберем путем постановки линейных связей, но направлению перемещения масс (см.

Рис. 2.1. Расчетная схема балки рис. 2.1). Составим уравнение метода перемещений, отрицающее наличие реакции, например, в добавленной связи к [7]:

Здесь m_ky_k(t) — реакция от инерции массы; r_kF(t) — реакция от обобщенной силы.

Подобные уравнения составляются для всех дополнительных связей. Приведенная форма записи уравнений получила название прямой формы записи. Совершенно очевидно, что здесь упругие свойства системы представлены коэффициентами жесткости.

Решение методом сил. После постановки пружин система становится п раз статически неопределимой. Основную систему метода сил выберем отсечением пружин от масс. В качестве основных неизвестных принимаются силы инерции 171. Имеем уравнение.

или после подстановки выражений для сил инерции.

Подобные уравнения составляются для всех удаленных связей. Приведенную форму записи называют обратной формой записи дифференциальных уравнений колебаний систем. Здесь свойства системы представлены коэффициентами податливости.

Обратную форму записи уравнений можно получить и без привлечения идей метода сил. Достаточно на основании принципа независимости действия сил составить выражения перемещения масс от действия сил инерции и заданной нагрузки. Такой подход изложен далее.

Как было указано выше, реальные системы с распределенной массой имеют бесконечное число степеней свободы. Первым приближением является система с одной степенью свободы. Если же есть необходимость в уточнении задачи — в определении последующих частот свободных колебаний, то выбирается расчетная схема уже с несколькими степенями свободы (см. параграф 2.2). Число степеней свободы зависит от вида конструкции и от желаемой степени точности расчета.

Ниже по-прежнему будем рассматривать только поперечные колебания без учета диссипативных сил.