Теплообмен в плоском канале при ламинарном течении жидкости

Получение аналитических решений задач теплообмена при течении жидкости в трубах и каналах представляет серьезные математические трудности. Точные аналитические решения указанных задач получены лишь для отдельных частных случаев, к тому же при существенных допущениях. В связи с чем разработка приближенных аналитических методов решения таких задач имеет не только научную ценность, но и практическое значение, так как позволяет широко использовать результаты теоретических исследований для инженерных расчетов.

Рассмотрим задачу о теплообмене при вязкостном течении жидкости в плоской трубе в случае постоянной температуры стенки. Примем допущения [64].

• 1. Течение жидкости и процесс теплообмена стационарны.
• 2. Жидкость несжимаема; ее физические свойства постоянны (т.е. не зависят от температуры и давления).
• 3. Течение жидкости стабилизировано, т. е. профиль скорости не изменяется по длине.
• 4. Во входном сечении теплообменного участка температура жидкости постоянна по сечению и равна ?₀.
• 5. Температура внутренней поверхности стенки трубы на участке теплообмена постоянна и равна ?_с, причем ?_с ^ ?₀-
• 6. В потоке отсутствуют внутренние источники тепла, а количество тепла, выделяющееся вследствие диссипации энергии, пренебрежимо мало.
• 7. Изменение теплового потока вдоль оси трубы, обусловленного теплопроводностью, мало по сравнению с изменением теплового потока вдоль оси, обусловленного конвекцией.

Математическая постановка задачи теплообмена в плоской трубе при граничных условиях первого рода с учетом принятых выше допущений имеет вид (одномерная задача).

где t — температура; ц — координата, направленная вдоль течения потока; ?, — координата, направленная поперек течения потока; h = 2r₀ — ширина плоского канала; ?₀ — температура на входе в трубу; ?_с — температура стенки трубы; а — коэффициент температуропроводности жидкости; со (?,) = 3 ?²1.

= — со_Ср 1 —: ®ср — средняя скорость течения жидкости.

2 1 г₀

Введем безразмерные переменные и параметры где Ре — число Пекле.

С учетом принятых обозначений задача (5.81)—(5.84) примет вид.

Следуя методу разделения переменных, решение задачи (5.85)—(5.88) разыскивается в виде

Подставляя (5.89) в (5.85), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

где р- — некоторая постоянная.

Решение уравнения (5.90) известно и имеет вид.

где D — неизвестный коэффициент.

Уравнение (5.91) представим в виде.

где А. = р'.

Граничные условия для уравнения (5.93) согласно (5.87), (5.88) будут иметь вид

Следуя методу Бубнова — Галеркина, решение задачи (5.93)—(5.95) разыскивается в виде.

где ф. — неизвестные коэффициенты; г_к(у) — координатные функции, определяемые по формуле

Соотношение (5.96) при использовании координатных функций вида (5.97) точно удовлетворяет граничным условиям (5.94), (5.95). Для нахождения неизвестных коэффициентов Ь/, (k = 1, п) составляется невязка уравнения (5.93) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям ru (V):

Соотношение (5.98) представляет систему однородных алгебраических линейных уравнений вида.

где.

Однородная система уравнений (5.99) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:

Раскрывая определитель, относительно А. получим алгебраический полином п-й степени. Так как элементы матрицы положительны и симметричны относительно главной диагонали, то корни А, — (г = 1, п) должны быть действительными отрицательными числами. Эти корни являются приближенными значениями собственных чисел краевой задачи Штурма —Лиувилля применительно к уравнению теплопроводности с граничными условиями первого рода.

Допустим, что найденные из алгебраического уравнения собственные числа расположены в порядке возрастания их абсолютных величин и образуют последовательность

Подставляя значения A*, (k = 1, п) в систему уравнений (5.99), получим ее нетривиальное решение. Так как система уравнений однородная, то можно положить b = 1. Собственные функции находятся из (5.96).

Приближенное решение задачи (5.85)—(5.88) с учетом (5.92), (5.96) записывается в виде

Неизвестные коэффициенты D* находятся из начального условия (5.86). Для этого составляется невязка уравнения (5.86) и требуется ортогональность невязки ко всем собственным функциям:

Соотношение (5.102) относительно неизвестных коэффициентов D_t представляет систему алгебраических линейных уравнений. После нахождения Дг, решение задачи (5.85)—(5.88) в замкнутом виде находится из (5.101).

На графиках рис. 5.26 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (5.101) в шестом приближении в сравнении с точным решением [64]. Собственные числа для двух, шести и десяти приближений, а также точные их значения представлены в табл. 5.6.

Рис. 5.26. Графики распределения относительной избыточной температуры

но координате у:

—расчет по формуле (5.101) (шестое приближение); ° — точное решение [64].

Таблица 5.6.

Невязки уравнения и начального условия в шестом приближении представлены на графиках рис. 5.27 и 5.28. Их анализ позволяет заключить, что максимальная невязка уравнения (5.81) (е ~ -0,018) при х = 0,1 имеет место в точке у = 1. Максимальная невязка начального условия (х = 0) также имеет место в точке у = 1 (е = 1). Это объясняется тем, что из решения (5.101) в точке у = 1 в любой момент времени (включая х = 0) благодаря.

Рис. 5.27. Невязка е уравнения (5.81) Рис. 5.28. Невязка е начального условия при и = 6 (шесть приближений) при и = 6 (шесть приближений).

(.г = 0,1) (jt = 0) особой конструкции координатных функций ср<.(х) выполняется граничное условие первого рода (5.84).