Логико-дидактический анализ темы «Пирамида»

Логико-дидактический анализ темы «Пирамида» по учебнику Л.С. Атанасяна

Вводятся понятия: пирамида, основания пирамиды, боковая грань пирамиды, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, n-угольная пирамида, высота пирамиды, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, боковое ребро усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, правильная усеченная пирамида, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Даются определения понятиям: пирамида, основания пирамиды, боковая грань пирамиды, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, n-угольная пирамида, высота пирамиды, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, боковое ребро усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, правильная усеченная пирамида, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Изучаются утверждения:

• 1) Площадь полной поверхности пирамиды равняется сумме площади боковой поверхности пирамиды и площади ее основания (Очевидно);
• 2) Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками (Доказывается с помощью теоремы Пифагора);
• 3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (Доказывается с использованием факта, что площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы);
• 4) Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции (Доказывается по определению трапеции);
• 5) Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равны произведению полусуммы периметров основания на апофему (Предлагается доказать самостоятельно);
• 6) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту (Доказывается с использование свойств подобия фигур, используется метод разбиения фигуры на составляющие);

7) Объем усеченной пирамиды, высота которой равняется h, а площади оснований равны S₁ и S₂, вычисляется по формуле V=h (S₁+S₂+) (Следствие из 6).

Логико-дидактический анализ темы «Пирамида» по учебнику Е. В. Потоскуева.

Вводятся понятия: пирамида, основания пирамиды, боковая грань, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, высота пирамиды, n-угольная пирамида, плоский угол при вершине пирамиды, двугранный угол при ребре пирамиды, тетраэдр, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, высота правильной усеченной пирамиды, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, полная поверхность усеченной пирамиды, ортоцентрический тетраэдр, равногранный тетраэдр.

Даются определения понятиям: пирамида, основания пирамиды, боковая грань, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, высота пирамиды, n-угольная пирамида, двугранный угол при ребре пирамиды, тетраэдр, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, высота правильной усеченной пирамиды, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, полная поверхность усеченной пирамиды, ортоцентрический тетраэдр, равногранный тетраэдр.

Изучаются утверждения:

Если все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые ребра пирамиды равны между собой. (Доказывается по свойствам прямоугольного треугольника)

Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около ее основания, то: а) все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью ее основания равные между собой углы. (Предлагается доказать самостоятельно).

Если высота пирамиды пересекает ее основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в ее основание. (Доказывается с использованием теоремы о трех перпендикулярах, свойств равных треугольников).

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы. (Предлагается доказать самостоятельно).

Высота пирамиды, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания, лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани. Высота пирамиды, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания, — боковое ребро, общее для этих граней. Высота пирамиды, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания, лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней. (Без доказательства)

Свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде все боковые ребра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. (Доказывается по свойству окружности, описанной около правильного многогранника).

Следствие: Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы. (Предлагается доказать самостоятельно).

Все апофемы правильной пирамиды равны. (Доказывается на основе равенства боковых граней правильной пирамиды)

Признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все ее боковые ребра равны; б) все ее боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все ее боковые грани — равные равнобедренные треугольники. (Предлагается доказать самостоятельно).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды. (Доказывается с использованием свойств равнобедренного треугольника).

Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом, и высота пересекает основание, то (Доказывается с использованием теоремы о трех перпендикулярах, свойств круга, вписанного в основание пирамиды, теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

Свойства параллельных сечений пирамиды:

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины. (Доказывается с использованием свойств гомотетии).

Следствие: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает пирамиду, подобную данной. (Без доказательства).

Основания правильной усеченной пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции. (Доказательство вытекает из предыдущего утверждения).

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему. (Предлагается доказать самостоятельно).

Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. (Доказывается с использованием принципа Кавальери).

Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. (Доказывается дополнением пирамиды до треугольной призмы).

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. (Доказывается на основании предыдущего утверждения).

Объем тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся ребер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти ребра. (Доказывается с помощью дополнительных построений).

Свойства тетраэдра, связанные с его объемом:

Объемы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания. Объемы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований. Объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся, как произведения длин ребер, образующих эти углы. (Без доказательства).

Объем усеченной пирамиды, у которой площади оснований равны S₁ и S₂, а высота — H, вычисляется по формуле (Доказывается с применением достраивания усеченной пирамиды до полной пирамиды).

Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изучение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматриваются простые характеристики — численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, — и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики — это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные многогранники (пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго определяются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов — призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n = 3, 4, 5,… Более детальная классификация — по взаимному расположению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно «разветвленная»:

Первая задача учителя — добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естественный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников — параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы); 3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

3) Подходы к определению правильного многогранника.

После рассмотрения выпуклых многогранников, учащиеся изучают их виды: призмы, пирамиды и их разновидности. Во многих учебниках они вводятся идентично. Проанализируем некоторые подходы к определению понятия правильного многогранника. Во всех учебниках по геометрии вводят разные определения этого понятия. Например, в учебнике Атанасяна Л. С. «Геометрия 10−11 кл.» [4] выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике Погорелова А. В. «Геометрия 10−11 классов» [18] вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. А в учебнике Александрова А. Д. «Геометрия 10−11 кл.» [3], в отличие от учебника Атанасяна Л. С. «Геометрия 10−11 кл.» дополнено требование равенства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в нем отрезком. В учебнике Клопского В. М. «Геометрия 9−10 кл.» [13] дается определение: выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — конгруэнтные правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней. В учебнике Киселева А. П. [12], многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. А также в книге Глаголева Н. А. [8] говорится, что 18 многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны. Очевидно, что в разных перечисленных пособиях вводятся разные определения понятия правильного многогранника, которые используют различные свойства правильных многогранников.

многогранник пирамида сечение тетраэдр Проанализируем изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках геометрии.

Учебник «Геометрия 10−11» под ред. Атанасяна Л.С. Проанализируем данную тему «Многогранники» по учебнику Атанасяна Л. С. «Геометрия 10−11 кл.». Данное учебное пособие предназначено для общеобразовательной школы. Данная тема рассматривается в главе 3 «Многогранники». На ее изучение выделяется 12 уроков.

1) § 1. Понятие многогранника. Призма. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы (1−3); 2) § 2. Пирамида. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды (4−8); 3) § 3. Правильные многогранники. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников (9−11); 4) Контрольная работа.

Также в учебном пособии Атанасяна Л. С. «Геометрия 10−11 кл.» в теме «Многогранники» рассматривается симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Ключевыми словами здесь являются понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При изучении определения правильного многогранника необходимо выделить два условия: 1) все грани многогранника — равные правильные многоугольники; 2) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.