Частица в гравитационном поле

Гравитационное взаимодействие является одним из фундаментальных (не сводимым к другим) взаимодействий. (Точнее было бы сказать, что оно пока еще считается фундаментальным. Возможно оно наряду с другими пока еще фундаментальными взаимодействиями окажется частным случаем одного фундаментального взаимодействия.)

Если в начале координат находится частица массой Л/, то на частицу массой т в точке г действует сила.

(закон всемирного тяготения). Здесь G= 6,67- 10″ ^п Н*м²/кг² — гравитационная постоянная.

Отличительной особенностью этого взаимодействия является его универсальность. Как видно из формулы (2.105), гравитационное взаимодействие определяется массами частиц, т. е. свойством, присущим всем частицам (в электромагнитном взаимодействии, например, участвуют лишь частицы, обладающие специальным свойством — электрическим зарядом).

Формула (2.105) определяет, очевидно, векторное поле. Легко убедиться, что это поле потенциально (докажите это, вычисляя работу силы F вдоль некоторой кривой). Мы же просто приведем потенциал для этого поля.

Для произвольной функции f (jr) имеем:

(здесь мы воспользовались результатом задачи (2.15)). Учитывая, что.

находим.

Таким образом, векторное поле F®, задаваемое формулой (2.105), представляется в виде.

Это значит, что потенциальная энергия частицы массой т в гравитационном поле, создаваемом частицей массой М, равна

где г — расстояние между частицами. Произвольную постоянную мы положили равной нулю, что соответствует тому, что на бесконечности (г —>) потенциальная энергия равна нулю.

Формула (2.105) справедлива в более широком контексте, чем было сформулировано. Она сохраняет силу, если в начале координат находится не частица (точечный объект), а шар радиусом R со сферически-симметричным распределением массы (сферическая симметрия означает, что при повороте объекта вокруг любой оси, проходящей через центр симметрии, на любой угол объект переходит в себя, т. е. остается таким же, каким и был). Однако, если в первом случае формула (2.105) справедлива при любом г, в рассматриваемом случае она справедлива лишь при г > R, например, формула (2.105) справедлива для частицы в гравитационном поле Земли, если частица находится вне Земли.

При движении частицы в поле тяжести имеет место, как мы видели, закон сохранения энергии:

Замечание. Здесь и далее речь идет о движении со скоростями, много меньшими скорости света. Ньютоновская теория тяготения справедлива лишь в этом случае.

Потенциальная энергия определяется формулой (2.108). Как видим, она отрицательна, что не имеет особого смысла, и убывает с уменьшением г, что соответствует силе притяжения. В каком отношении, однако, находится эта формула к известной формуле IV = mgh?

Положим r = R + h₉ R — радиус Земли. Имеем:

Величина GMm/R² = mg есть сила тяжести у поверхности Земли, g = 9,8 м/с². С учетом этого перепишем формулу (2.110) в виде.

Это все еще точная формула. При малых А, воспользовавшись формулой (2.86), будем иметь.

Многоточию в скобках соответствуют опущенные слагаемые более высокого порядка малости. Слагаемое —mgR в правой части равенства дает значение потенциальной энергии у поверхности Земли И^(0) в предположении, что на бесконечности потенциальная энергия равна нулю. Если положить Щ0) = 0, потенциальная энергия на бесконечности будет равна +mgR, и вместо (2.112) будем иметь.

Задача 2.19. Какую минимальную скорость нужно сообщить ракете, чтобы она достигла высоты И = 500 км? 5000 км?

Решение. Важно понимать, что ответы на все вопросы, связанные с движением частицы в заданном силовом поле, содержатся во втором законе Ньютона, так как он в конечном итоге определяет траекторию частицы и положение частицы в любой момент времени. Но на некоторые вопросы ответ проще найти из закона сохранения энергии (который является следствием второго закона).

Запишем уравнение (2.109) с учетом (2.111) в виде.

Это равенство дает связь v = v (h) между скоростью и высотой для любой точки траектории. Задавая скорость, мы можем найти высоту, на которой достигается эта скорость, и наоборот, задавая высоту, можно найти скорость на этой высоте. Для определения постоянной Е нужно знать скорость и высоту для какой-нибудь точки траектории. Пусть при И = 0 скорость равна v₀. Подставляя эти значения в (2.114), найдем.

и равенство (2.114) после некоторых преобразований приобретает вид.

Величина 2gR имеет размерность квадрата скорости. Полагая v,² = 2gR, перепишем предыдущее равенство в виде.

Максимальная высота подъема будет в случае, когда в верхней точке скорость обратится в нуль. Это может быть только при вертикальном подъеме. Второе слагаемое в правой части равенства (2.115) равно нулю при h = 0 и стремится к единице при h -«°°. Видим, что если vyv, > 1, то у/у, > 0. В этом случае при вертикальном запуске верхней точки подъема нет и ракета уходит на бесконечность. Пороговая скорость у, = -j2gR = 11,2 км/с называется второй космической скоростью. При начальной скорости v₀ меньшей второй космической ракета достигнет наивысшей точки с высотой И, которую найдем, полагая в равенстве (2.115) у = 0. Разрешая полученное равенство относительно скорости, получаем.

и относительно высоты.

При малых высотах формула (2.116) примет вид v₀ = ^2gh, как и должно было быть.

Внимание! Две последние формулы справедливы только для движения по вертикали. Закон сохранения энергии не позволяет найти верхнюю точку траектории при запуске ракеты под углом к вертикали, так как в этом случае неизвестна скорость в верхней точке. Мы еще вернемся к этому вопросу далее. Возвращаясь к нашей задаче, из формулы (2.116) находим, что v₀ = 3,01 км/с для высоты 500 км (радиус Земли R = 6400 км). Если бы мы считали по формуле v₀ = ?Jlgh, то получили бы близкий результат 3,13 км/с. Однако для высоты 5000 км правильная формула (2.116) дает v₀ = 7,42 км/с, в то время как по приближенной формуле скорость равна 10 км/с.

Формула (2.105) справедлива для сферически-симметричного распределения массы вне этого распределения. Какая сила действует на частицу внутри этого распределения? (Например, на дне глубокой шахты.).

Если мы имеем сферически-симметричное распределение массы с центром симметрии в начале координат, то сила, действующая на частицу в точке с радиусом-вектором г, равна.

Здесь М (г) — масса, заключенная внутри сферы радиусом г. Можно показать, что формулы (2.105) и (2.118) математически эквивалентны (то, что из (2.118) следует (2.105), очевидно, но верно и обратное). Из формулы (2.118) следует, что на частицу, находящуюся внутри сферической массивной оболочки, сила не действует.

Задача 2.20. Какая сила действует на частицу внутри однородного шара массой М!

Решение. Пусть радиус шара R, частица находится на расстоянии г от центра шара. Найдем массу А/(г), находящуюся внутри сферы радиусом г. Поскольку масса пропорциональна объему, а объем пропорционален кубу радиуса, M (r) = Mr³/R Из формулы (2.118) находим.

На частицу внутри Земли действует сила Еще раз подчеркнем, что если частица находится на расстоянии гот центра распределения, масса, находящаяся вне сферы радиусом г, не дает вклада в силу.

Второй закон Ньютона для частицы, движущейся в поле вида (2.105), дает уравнение.

Это уравнение замечательно тем, что из него исчезла масса частицы. В нем вообще не присутствуют какие-либо свойства частицы! Это уникальная особенность гравитационного поля. Движение частицы определяется только ее положением и скоростью в начальный момент времени и не зависит от ее индивидуальных свойств.