Элементы теории линейных разностных уравнений

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Сетки и сеточные функции

Определение 1. Сеткой на отрезке (а, Ь] называется любое конечное множество точек этого отрезка.

Точки сетки обычно называют ее узлами. Мы уже имели дело с сетками и их узлами, когда занимались приближенным вычислением определенных интегралов по формулам трапеций и Симпсона (см. параграф 12.9). Будем обозначать через (o_N сетку, удовлетворяющую условиям.

То есть сетка состоит из (N + 1) узлов х. е со^.

Если узлы сетки делят отрезок [а, b] на неравные отрезки, то такие сетки называются неравномерными. Множество точек на [a_t b].

называется равномерной сеткой с шагом И * (b — a)/N.

Определение 2. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией.

Соответствующие значения сеточной функции в узлах сетки обозначаются символами у. или/J. Значения сеточной функции, определенной на равномерной сетке, удобно обозначать через y (i), где / — номер узла сетки, / = 1,2, …, N.

Таким образом, сеточная функция является конечным множеством чисел, когда каждому узлу сетки по определенному закону ставится в соответствие лишь одно число из этого множества. Сетки и сеточные функции представляют собой конечные дискретные множества точек. Для равномерной сетки удобно ввести зависимость сеточной функции от номера узла, т. е. рассматривать сеточную функцию как функцию от целочисленного аргумента.

Пример 1. Составить равномерную сетку и определенную на ней сеточную функцию при N = 4, если функция у — х² определена на отрезке [0, 1].

Решение: шаг сетки И = 0,25, стало быть сетка (Од, = {0, 0,25, 0,5, 0,75, 1}; сеточная функция также состоит из пяти чисел — {0, 0,0625, 0,25, 0,5625, I}.

Сетки и сеточные функции широко используются в самых различных приложениях; в качестве наиболее распространенных примеров таких приложений можно назвать разнообразные численные методы решений задач. В настоящее время разработана теория разностных уравнений, получившая самостоятельное развитие и приложения. Приведем основные элементы указанной теории.