Устойчивость разностной схемы

Кроме ошибок аппроксимации существует еще один источник ошибок численного решения, который связан с погрешностью вычислений. Для ЭВМ с ее конечнозначной арифметикой неизбежны ошибки округления.

В зависимости от особенностей вычислительного алгоритма эти ошибки в процессе счета могут затухать или возрастать. В первом случае говорят, что численный метод устойчив, а во втором неустойчив. Для решения практических задач используют только устойчивые алгоритмы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Источниками возмущений могут быть неточности вычислений правой части, начальных и краевых условий.

Согласно определению, разностная схема L/, u^ = устойчива, если разностная задача Ьцй^ = f (^h)+e (^h полученная из исходной добавлением к правой части малого возмущения К имеет единственное решение vS^h^ и отклонение этого решения от решения и^ невозмущенной задачи удовлетворяет оценке

где С — постоянная, не зависящая от h.

Иначе можно сказать, что малое возмущение правой части разностной схемы вызывает малое (равномерное относительно h) возмущение решения. Для линейных операторов приведенное определение равносильно следующему. Разностная схема Ь^и^ = с линейным оператором L), устойчива, если при любом € F/, уравнение Lf_tu^ = /^(/^ имеет единственное решение € Uf_t, причем

В понятие возмущения правой части входит возмущение начальных и краевых условий. Определение устойчивости разностной схемы тесно связано с понятием корректности в задачах с непрерывным аргументом. Их тесную связь мы проследим при изучении критерия устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви. Отмстим, что условие устойчивости является свойством непосредственно разностной схемы, а не исходной дифференциальной задачи.

Методы практического исследования устойчивости хорошо развиты для линейных задач с постоянными коэффициентами. При переменных коэффициентах используют искусственные приемы, трансформирующие исходную дифференциальную задачу, такие как линеаризацию, замораживание коэффициентов. Такая линеаризация нелинейных задач может существенно исказить оценки устойчивости разностной схемы.