Расчёт электрических фильтров

Требуется рассчитать полосовой фильтр для выделения второй и четвёртой гармоники при частоте генерации f_г=14,5 кГц. Неравномерность ослабления в ПЭП ДА=0,1 дБ. Минимально допустимое ослабление в ПЭН Amin = 20 дБ.

Расчёт второй гармоники.

Частота второй гармоники равна.

f2=29 кГц.

По заданным ДА и A_min, выбрав порядок фильтра n=3, по рис. 7.1 определяем нормированную частоту, соответствующую границе ПЭН НЧ-прототипа: ?=3,2.

Находим граничные частоты:

Т.к.

0=2*=3*3=2**f=6.28*29*10і=182 120 (рад/с).

то, задавшись f₃ =36,25 кГц (щ₃ = 226 195 (рад/с)), найдём:

3=І0/3=145 696 (f'₃ =23,2 кГц) Определяем:

=(3−3)/=27 332 рад/с. (f=4,35 кГц) Решаем совместно систему:

Получаем:

• 2=195 043 рад/с (f=27,1 кГц)
• 2=170 226 рад/с (f=31,1 кГц)

Используя справочную таблицу, находим полюсы передаточной функции НЧ-прототипа фильтра 3-го порядка.

S₁=-0.969 407.

S_2,3=-0,484 705±j1,206 160.

Для отыскания полюсов передаточной функции ПФ воспользуемся соотношением:

.

гдесоответствующий полюс НЧ-прототипа.

Получаем значения полюсов, которые удобно оформить в виде таблицы.

Таблица. Полюсы передаточной функции.

Передаточная функция ПФ может, записана в виде произведения трёх сомножителей второго порядка:

Каждый сомножитель соответствует одной паре комплексно-сопряжённых полюсов. Коэффициенты определяются:

.

где — коэффициент неравномерности ослабления в полосе пропускания;

и — действительная и мнимая часть i-го полюса передаточной функции ПФ Их значение сведём в таблицу:

Таблица. Коэффициенты передаточной функции ПФ-фильтра.

Для реализации полученной передаточной функции необходимо выбрать тип звеньев, учитывая требуемую добротность:

В результате расчётов получим:

Выполним расчеты элементов для схем каждого звена исходя из передаточных функций для этих схем.

Расчет элементов первого звена:

Передаточная функция для этой схемы записывается следующим образом:

H (p)=-/R1*C4*p/(pІ+(C3+C4/R5*C3*C4)*p+(R1+R2)/R1*R2*R5*C3*C4).

Сопоставим её с найденными коэффициентами, получим систему:

• 1/R1*C4=b1
• (C3+C4)/R5*C3*C4=a1
• (R1+R2)/R5*R2*R5*C3*C4=a01

Решая которую найдем требуемые элементы. В этой системе пять неизвестных, следовательно необходимо задаться некоторыми из них (рекомендуется С3, С4). Пусть С3 = С4 =5 (нФ), тогда получим:

Решая систему получим:

R1=1/C4*b1=6,93 (кОМ).

R2=(C3+C4)/a1*C3*C4=16,8 (кОм).

R3=R1/(a01*R1*R5*C3*C4−1)=72,3 (Ом) Поступая аналогичным образом, находим элементы второго и третьего звена.

C6=C7=C=5 (нФ) R1=R2=1/п*C.

R1=R2=1,012 (кОМ).

R3=R2(a1*R5*C7−1)=0,81 (кОм).

R4=1/a01*R3*C6*C7=1,27 (кОм).

R5=1/a2*C7=15,58 (кОм) Результаты вычислений удобно представить в виде таблицы:

Схема звена полосового фильтра состоит из трёх звеньев включенных последовательно.

Для расчёта АЧХ и ослабления фильтра в выражении Н (р) осуществим замену р=j?, и используя законы для вычисления комплексных чисел, найдем функцию для расчета АЧХ H (w):

H (j,)=? b*/(a0i-)І+(ai*)І.

Ослабление фильтра связано с АЧХ выражением:

Найдём частоты ослабления ПЭП, при которых, А и АЧХ принимают максимальные и минимальные значения. Для характеристик НЧ-прототипов при n=3 имеем: min =0,866 max=0,5;

Для нахождения соответствующих частот характеристики ПФ используем выражение:

Результаты расчётов АЧХ и ослабления отдельных звеньев и всего фильтра удобно свести в таблицу:

Полученная частотная зависимость ослабления удовлетворяет заданным нормам ДА и A_min. По результатам расчётов построим графики АЧХ (и зависимость ослабления от частоты полосового фильтра.