Приложение. 
Элементы функционального анализа

Отображения

Рассмотрим два множества F и G, состоящие из произвольных элементов. Пусть указано правило А, согласно которому любому элементу/из множества F ставится в соответствие единственный элементу из множества G.

В этом случае мы говорим, что задано отображение множества F в множество G (рис. 26). Будем использовать следующие обозначения:

Рис. 26. Отображение А элемента f е F в элемент g е G; элемент g = А/ - образ элемента/.

Поскольку отображение, А указано для любого элемента F, мы говорим, что, А определено на множестве F, а множество F называем областью определения отображения, А и обозначаем D (А). В нашем случае D (A) = F. Если / е D (A), то А/ принадлежит G и называется образом элемента /. Аналогично определяется образ множества. Пусть Р является подмножеством D (A). Множество образов всех элементов из Р образуют образ множества Р. Образ области определения называется множеством значений отображения А и обозначается через R (А). Если Q с R (А), то множество элементов /е D (А), таких, что А[ еО, называется прообразом множества Q и обозначается.

A~'Q. Символ, А ¹ не есть, вообще говоря, отображение, так как по определению несколько элементов /,/₂, е ?>(А) могут иметь один и тот же образ g е /?(А), и, стало быть, у элемента g прообразом будет множество {/|,/₂,…,/"} с Z)(A). В том случае, когда каждый элемент g е R (А) имеет прообраз, состоящий из одного элемента A~'g е 0(А),.

А называется взаимно однозначным отображением. При этом, А ¹ есть другое взаимно однозначное отображение, называемое обратным к А. За некоторыми отображениями более или менее жестко закреплены специальные названия.

• • Если D (А) с /?" и /?(А) с /?', то такое отображение принято называть функцией п переменных (по размерности).
• • Если отображение определено на множестве функций, а /?(А)сй‘, то такое отображение называется функционалом.
• • Если отображение определено на множестве функций со значениями в функциях, то обычно оно называется оператором.

Если имеются два отображения, А и В, таких, что А: М —> N и В: N -" Р, то можно определить новое отображение С: М -> Р, которое называется композицией отображений, А и В и обозначается через В ° А. Если т е М, то, А отображает его в элемент Ат е N, а В, в свою очередь, переводит его в элемент В (Ат)е Р. Таким образом, (В = А)т = В (А/н) •.