Решение уравнения движения без использования векторного потенциала

В тех задачах, где задана форма электрического поля плоской электромагнитной волны, чтобы описать движение частицы приходится восстанавливать векторный потенциал, а это создает дополнительную вычислительную трудность. Однако, как будет далее видно, мы располагаем достаточными средствами, чтобы описать поведение частицы, не задействовав векторный потенциал.

Уравнение движения (2.8) с учетом в покомпонентном представлении:

(2.13*).

(2.14*).

С учетом равенства по модулю сопряженных компонент электрического и магнитного полей в соответствии с (2.6), , выражения (2.13*) упрощается:

(2.13**).

Из (2.14*) посредством (2.11) можно получить (2.15). Далее из (2.13**) с учетом (2.16) находим:

(2.17*).

Третью компоненту импульса отыщем аналогично (2.18) из (2.10), воспользовавшись (2.15) и (2.17*):

(2.18*).

Выражение (2.15) с учетом (2.18*) имеет вид:

(2.15*).

Из (2.12) и (2.15) получаем (2.19). Из (2.19) и (2.16) получаем (2.20). С учетом (2.20) запишем (2.19) в виде (2.21). Из (2.21) ищем координаты частицы:

(2.22*).

Решение (2.22*) выгодно отличается от (2.22) тем, что теперь не нужно знать ни векторный потенциал (и заботиться о его свойствах — непрерывности и равенству значений на концах в случае локализованного по времени импульса), ни константы интегрирования (2.23). Собственное изящное решение уравнения движения частицы (однако лишь в монохроматической плоской волне) предложено в [11]: найдены выражения для компонент скорости и ускорения заряженной частицы, но особый интерес автор проявляет к вычислению томсоновского рассеяния, угловым и спектральным распределениям рассеянного излучения, интенсивность которого в нашем расчете мы предполагаем малой.