Признаки сходимости рядов со знакопостоянными членами

1-й признак сравнения Рассмотрим ряды Ј a_k и Ј b_k, где 0 < а_к < Ь^. Тогда если.

k=1 k=1.

ряд Ј b_k сходится, то сходится и ряд Ј a_k; если ряд Ј a_k расходится, то расходится и ряд Ј b_k.

2-ой признак сравнения Если для общих членов рядов Ј ak и Ј bk выполняется.

k=1 k=1.

lim ak/bk = L < ж (т.е. L — конечное число), то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

ПРИМЕР 1.

Проверить сходимость ряда Ј.

Решение Сравним этот ряд с рядом Ј —. Согласно замечанию 1 этот ряд сходится, т.к. для него р = 2.

Следовательно, по 1-му признаку сравнения рассматриваемый ряд сходится.

ПРИМЕР 2.

Проверить сходимость ряда Ј.

k=1 ^3k +¹

Решение Сравним ряд с гармоническим рядом Ј1/k, который расходится.

k=1.

тт _r 3k +1 Далее lim = 3.

k^да k.

Следовательно, расходится и исходный ряд.

ПРИМЕР 3.

3. Проверить сходимость ряда Ј.

k=1 2k³ + Vk.

Решение Сравним этот ряд с рядом Ј —-.

k=1 k.

Ряд сходится, т.к. общий член его ak = -¹ имеет р = 3 > 1.

k³

2k³ + Vk k³'.

Тогда, по 1 признаку сравнения сходится и исходный ряд.

ПРИМЕР 4.

Проверить сходимость ряда У. _.

k=1 2k³ + 3k² Решение Сравним этот ряд с рядом у —, который сходится, т.к.

k=1 k²

общий член ak = имеет р = 2 > 1.

Рассмотрим предел отношений общих членов обоих рядов:

. 2k³ + 3k² = lim — = lim.

k —ro ^(k 3) k —ro k² * (k — 3) k ——ro.

• 2 = L < ro.
• (2k³+3k²)

По второму признаку сравнения оба ряда должны сходиться одновременно. Следовательно, исходный ряд сходится.

ЗАДАНИЕ Проверим сходимость рядов. к — 2.

к=1 3к + 3к² 3k.

k=1 Vk + k³

k=1 k.

3k² + 4.

k=1 5k + 2k ^ro 2k.

k=2 3k² + 4k ^ro 3k.

k=1 k³ + 2k ^ro 8k +1.

k=1 3k² + 2k.

• (расходится);
• (сходится);
• (сходится);
• (сходится);
• (расходится);
• (сходится);
• (расходится).