Комплексное ДПФ. 
Дискретное преобразование Фурье

До сих пор мы рассматривали ДПФ от действительных сигналов. Обобщим теперь ДПФ на случай комплексных сигналов. Пусть x[n], n=0,…, N-1 — исходный комплексный сигнал, состоящий из N комплексных чисел. Обозначим X[k], k=0,…N-1 — его комплексный спектр, также состоящий из N комплексных чисел. Тогда справедливы следующие формулы прямого и обратного преобразований Фурье (здесь 1?=j):

Если по этим формулам разложить в спектр действительный сигнал, то первые N/2+1 комплексных коэффициентов спектра будут совпадать со спектром «обычного» действительного ДПФ, представленным в «комплексном» виде, а остальные коэффициенты будут их симметричным отражением относительно половины частоты дискретизации. Для косинусных коэффициентов отражение четное, а для синусных — нечетное.

Двумерное ДПФ

Для изображений, представляющих собой двумерный сигнал, спектром является также двумерный сигнал. Базисные функции преобразования Фурье имеют вид.

причем фазы также могут быть различны. На изображении каждая из этих базисных функций представляют собой волну определенной частоты, определенной ориентации и определенной фазы.

Здесь N1xN2 — размер исходного сигнала, он же — размер спектра. k1 и k2 — это номера базисных функций (номера коэффициентов двумерного ДПФ, при которых эти функции находятся). Поскольку размер спектра равен размеру исходного сигнала, то k1 = 0,…, N1−1; k2 = 0,…, N2−1.

n1 и n2 — переменные-аргументы базисных функций. Поскольку область определения базисных функций совпадает с областью определения сигнала, то n1 = 0,…, N1−1; n2 = 0,…, N2−1.

Двумерное ДПФ (в комплексной форме) определяется следующими формулами (здесь x[n1,n2] - исходный сигнал, а X[k1,k2] - его спектр):

Непосредственное вычисление двумерного ДПФ по приведенным формулам требует огромных вычислительных затрат. Однако можно доказать, что двумерное ДПФ обладает свойством сеперабельности, т. е. его можно вычислить последовательно по двум измерениям. Для вычисления двумерного ДПФ достаточно вычислить одномерные комплексные ДПФ всех строк изображения, а затем вычислить в результирующем «изображении» одномерные комплексные ДПФ всех столбцов. При этом результаты всех одномерных комплексных ДПФ нужно записывать на место исходных данных для этих ДПФ. Например, при вычислении одномерного ДПФ первой строки изображения нужно результат ДПФ записать в первую строку этого изображения (он имеет тот же размер). Для этого нужно каждый «пиксель» хранить в виде комплексного числа.