Алгоритм для вычисления собственного времени процесса

Все, о чем было рассказано в нескольких предыдущих разделах, в большей степени ориентировалось на проведение дальнейших исследований по проблеме собственного времени процесса и в значительно меньшей степени на практические применения. Восполняя этот пробел, изложим один из способов вычисления собственного времени процесса на основании статистических данных о его эволюции.

Рассмотрим одномерный процесс, состояние которого характеризуется вещественной переменной х. Предположим, что наблюдения за динамикой процесса выполняются в астрономическом времени t, так что t = t_k и x = x_k, k =1, …, п — фиксированные моменты наблюдения и соответствующие им значения состояний процесса. Существует множество разнообразных математических методов, позволяющих построить такие кривые, которые либо проходят через точки (t_k, Xk), либо «наилучшим o6paзом» приближаются к ним. Получаемые при этом функции x = x (t) порождают, в нашем сознании впечатление, что рассматриваемый процесс зависит от механического движения небесных тел и, следовательно, его состояние выражается через астрономическое время t. С таким выводом можно было бы считаться; если не возникали бы постоянные трудности при попытках прогнозировании дальнейшего протекания процесса. Для большого числа разнообразных процессов, не имеющих прямого отношения к механическим движениям небесных тел, получаемые с помощью функции x = x (t) теоретические предсказания за пределами интервала наблюдения начинают значительно отклоняться от последующих экспериментальных данных. Причину расхождения теории и эксперимента обычно пытаются объяснить неудачно подобранным методом обработки, однако существо дела может быть и не в этом.

Любой интересующий нас процесс протекает во Вселенной. Он, безусловно, «чувствует» на себе воздействие движения небесных тел. Однако Это воздействие может оказаться «нежестким», неопределяющим. Это, в частности, может проявляться в том, что на определенных интервалах течения астрономического времени состояние процесса остается неизменным. Вспомним в связи с этим приведенный ранее пример с замкнутым пустым помещением, изолированным от внешнего мира. Впустим в помещение всего лишь одну живую муху. В течение нескольких дней изменения в состоянии системы «помещение — муха» будут зависеть от перемещений мухи, поскольку изменений в состоянии помещения ожидать не приходится. Вместе с тем трудно вообразить, что поведение мухи жестко связано с ходом астрономического времени.

Сделав столь длинное отступление, перейдем к описанию алгоритма для подсчета собственного времени процесса.

В этом алгоритме в качестве натуральной меры времени выбирается единица исчисления локальных максимумов. Кроме того, принимаются во внимание возможные участки стационарного состояния процесса, на которых, как отмечалось раньше, собственное время останавливается. Поскольку о идентичности двух состояний можно говорить только в пределах точности измерений, то в дальнейшем используется некоторое положительное число е — допустимая ошибка измерений.

Итак, входными данными для алгоритма являются натуральное число п, положительное число 8, массивы {tk} и {x_k}, k = 1, …, п. Для удобства программирования алгоритм представлен в виде четырех последовательно выполняемых модулей.

Модуль 1, используя данные п, е, t_k), (x_k), формирует в общем случае новые массивы 7 = {7+ X=(X_t) и вполне конкретный сопутствующий массив Р = {?}, где 1 = 1, …, т, причем т<�Сп. Основное назначение этого модуля — выявление в массиве x_k) последовательностей идентичных состояний процесса, сохранение первых элементов в таких последовательностях и удаление всех остальных и, наконец, уменьшение по определенному, правилу исходного интервала наблюдения от t до на сумму тех промежутков времени, в которых процесс протекает стационарно.

Модуль 1 включает в себя следующие процедуры:

v: = l.

р: = 1, т: = 0, k: = 1.

В п.п. 1, 2 вводятся счетчики с конкретными начальными значениями:

k = k+1.

fcl: = fcl + l.

В п.п. 3, 4 происходит увеличение значений счетчиков на 1.

Проверить условие k^n. Если оно выполнено, то перейти к п. 6, в противном случае к п. 11.

Проверить неравенство x_k—x_{k =} е. Если оно имеет место, то перейти к п. 7, иначе к п. 9.

7. tii = ti — (tkl — tk), i = k1, …, п.

Эта процедура означает, что если значения Xk и Xk₁ неразличимы в пределах ошибки, то все моменты времени, начиная с tk, уменьшаются на величину tki-tk.

р = р. Вернуться к п. 4.

Tv = t_k; X_v:=x_k; p = p v = v+l., т. е. происходит формирование элементов массивов Т, X, Р и присвоение очередного значения v.

• 10. Принять {t_k, …, t_n И {Xk, — Х_п) в качестве исходных массивов размерности п—k 1 + 1 и затем возвратиться к п. 2.
• 11. Выдать на печать m, {T}, {Х,} и{Р,}, где i = l, …, т. Конец.

Поясним смысл элементов сопутствующего массива Р. Из предыдущего текста вытекает, что значение pk равно количеству тех элементов массива {xk), которые непосредственно, следуют за, и отличаются от x_pi+ …+, +, меньше чем на е. Отметим также, что pi+ … +p_m = n.

Пример 1. Дано: п = 20, {/*} = (2, 4, 7, 10, 12, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 25,.

• 27, 30, 32, 33, 34, 35, 36) и {х,}= (4, 4, 6, 6, 6, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 4, 5, 5,
• 5, 4, 3), см. рис. 9, а.

В результате выполнения модуля 1 получается т = 11,.

{Г} = (2, 3, 4, 6, 8, 11, 1−2, 15, 17, 18, 19);{Х,}=(4, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 4,5,4,3).

и{д.} = (2, 4, 1, 1, 1,3, 2, 1,3, 1, 1), см. рис. 9, б.

Модуль 2. Входными данными для него являются натуральное число т, а также массивы {7+ {X_L}, = 1, …, т. Этот модуль в массиве {TJ выявляет моменты времени [ТМ_а], 1 = 1 m (ml_t} П [TM_lt 7 М_т1], 2 = 1, …, т2 {ml< <�Ст2<�Ст). Как видно из определения {Т%}, в его состав входят элементы {Г}, начиная с первого локального максимума ТМ и заканчивая последним локальным максимумом ТМ_т.

Пример 2. Значения т, {Т_ь} и {X,] заимствуются из предыдущего примера. После выполнения модуля 2 получаются ml = 3, m2 = 8, {Щ,} = (3, 8, 17), {Т*} = (3, 4, 6, 8, 11, 12, 15, 17), см. также рис. 9, б.

Модуль 3. Входные данные ml, m2, {ТМ_п}, 1 = 1, …, ml, {Г*}, /2=1, …, гп2.

Этот модуль предназначен для построения массива {т₍-г} по формуле.

Где ТВ 6 [ТМп, TMn+i].

Переменная т есть собственное время, порождаемое изменением переменной х. Его натуральной мерой является единица исчисления локальных максимумов.

Пример 3. Исходные данные для Т₂) те же, что значений ml, m2 ITM, и в примере 2.. После соответствующих вычислений получим Ы = (0; 0,2; 0,6; 1; 1,33; 1,78; 2).

Модуль 4. Формирует выдачу результатов путем установления соответствия между значениями т и элементами х из массива {xk).

Пример 4. На основе данных примеров 2 и 3 выдается следующий результат, см. рис. 9, в:

т: 0; 0,2; 0,6; 1; 1,33; 1,44;

х: 6; 3; 2; 4; 3Т⁰2;

1,78; 2. 4; 5.

Таким образом, рассмотренный алгоритм позволяет выработать понятие собственного времени процесса на основе зафиксированной по астрономической шкале времени информации об изменении состояния процесса. Вполне понятно, что можно воспользоваться и другими алгоритмами, основанными, например, на исчислении последовательности локальных минимумов или же смешанной последовательности, состоящей из локальных максимумов и минимумов. При обработке экспериментальных данных следует, вероятно, испытывать различные варианты. Если по каким-либо причинам экспериментатор остановил свой выбор на одном из конкретных собственных времен и получил при этом массивы {т4 и {xk}, то на следующем этапе ему надлежит воспользоваться какими-либо математическими методами для апроксимации экспериментальных точек (т*, х) некоторой приближенной мировой линией процесса х = х (т). Экстраполируя эту линию за пределы исходного промежутка наблюдений, он может выдавать прогнозы о дальнейшем протекании процесса.

Интересно упомянуть о вычислительном эксперименте, предназначавшемся для оценки перспективности применения предложенного алгоритма. В качестве экспериментального материала были выбраны данные о годовых стоках р. Вахш (Таджикистан) за 40 предыдущих лет. За этот же промежуток времени были взяты сведения о динамике числа Вольфа — наиболее употребляемого интегрального индекса солнечной активности. Последнее было положено в основу разработки собственного времени процесса солнечной активности. К новому времени была преобразована информация о расходах р. Вахш и затем на промежутке наблюдения выдана теоретическая зависимость расхода воды в виде функции от собственного времени солнечной активности. Характерная особенность полученного графика — почти периодическое поведение максимальных и минимальных расходов. Величины расходов, однако, не остаются постоянными.