Древнекитайское доказательство. 
Пифагор. 
Теорема Пифагора. 
Доказательства, обобщение, области применения

Наглядное доказательство теоремы Пифагора принадлежит индусам. Посмотрите внимательно на два квадрата, и вам всё станет ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: «СМОТРИ».

Доказательство Мёльманна

Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5 ab, с другой 0.5 pr, где p — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной в него окружности.

r = 0.5(a+b-c). 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c).

Отсюда следует, что.

с2=а2+b2.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок СI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.